Basic calculus

ว30405 คณิตศาสตร์สําหรับฟิสิกส์ - 8 -
ความหมายเชิงกายภาพของปฏิยานุพันธ์
การหาพื้นที่ใต้กราฟ
( A ) ของสมการ
2
y = x ในช่วง 1 ≤ 2
≤ x ดังรูปที
ก. ข.
รูปที่
2
สามารถทําได้โดยแบ่งพื้นที่ที่ต้องการหาเป็นสี่เหลี่ยมเล็กโดยมีความกว้างเป็น
∆x เท่าๆ กัน ดังรูปที่
2ข.
หากในพื้นที่ที่ต้องการหานี้ถูกแบ่งเป็นจํานวน
n รูป ซึ่งความสูงของรูปสี่เหลี่ยมแต่ละรูปนี้จะขึ้นกับค่าของ
2
x พื้นที่ใต้กราฟใต้กราฟของสมการ
y = x ในช่วง 1≤ x ≤ 2 คือ ผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมทั้งหมด
จํานวน n รูปนั่นเอง
สามารถเขียนแทนสมการได้เป็น
A
=
y ∆x
+ y ∆x
+
1 2 ...
+ y ∆x
n
=
n
∑
i=
1
y ∆x
ซึ่งวิธีนี้จะเป็นเพียงการคํานวณโดยประมาณเท่านั้น
เพราะการสร้างสี่เหลี่ยมจะต้องมีส่วนที่เกินจากกราฟ
เท่าๆกับส่วนที่หายไป
และจะเห็นได้ว่าหากเราแบ่งพื้นที่นี้ออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้เล็กมากเท่าไร
ความ
แม่นยําในการหาพื้นที่ใต้กราฟนี้ก็จะยิ่งมากขึ้น
ดังนั้น
หากแบ่งให้สี่เหลี่ยมผืนผ้านี้เล็กมากๆ
จน ∆x → 0
( n → ∞ ) จะได้ว่า
A
=
= ∫
lim
1
n
∑
y ∆x
=
3
x 2
3 1
2
∫
y(
x)dx
3 3
2 1
−
3 3
7
3
i
่ 2ก.
∆x→0
i=
1
i
1
2
2
x dx = = =
***
สังเกตได้ว่าเมื่อให้
∆x → 0 ( n → ∞ ) เราจะแทน ∆x ด้วย dx และ lim ∑ แทนด้วย
∆x→0
∫
i=
1
1
(ซึ่งเป็นสัญลักษณ์แทนการรวมสิ่งที่มีความต่อเนื่องเข้าด้วยกัน)
และ y i ซึ่งเป็นค่าของความสูงจะ
แทนด้วย y ( x)
เพราะเป็นฟังก์ชันของค่า x มีค่าขึ้นกับค่าของ
x ในแต่ละตําแหน่ง
ดังนั้น
สรุปได้ว่า
b
พื้นที่ใต้กราฟ
f ( x)
ในช่วง a ≤ x ≤ bจะเท่ากับ
∫
f ( x)dx
a
n
2