Basic calculus

ว30405 คณิตศาสตร์สําหรับฟิสิกส์ - 1 -
คณิตศาสตร์สําหรับฟิสิกส์ (Math for Physics)
ฟังก์ชัน
ฟังก์ชัน เป็นเซตของความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรหนึ่งกับตัวแปรอื่นๆ
กล่าวว่า “ y เป็นฟังก์ชัน
ของ x ” เมื่อมีความสัมพันธ์ระหว่าง
x และ y โดยที่เราสามารถหาค่า
y ได้เมื่อกําหนดค่า
x ให้
2 เช่น y = x + 1 ซึ่งเรียก
y ว่า ตัวแปรตาม
เรียก x ว่า ตัวแปรต้น
ซึ่งเราสามารถเขียน
y ด้วย y(x) หรือ f(x) และจากฟังก์ชันตัวอย่างนี้เราสามารถหาค่าของ
ของตัวแปรตาม ( y ) เมื่อกําหนดค่าของ
ตัวแปรต้น ( x ) ให้ เช่น
2
เมื่อ
x = 1 จะได้ y ( 1)
= 1 + 1 = 2
2
x = 2 จะได้ y ( 2)
= 2 + 1 = 5
2 จากตัวอย่างข้างต้นเรากล่าวได้ว่า ฟังก์ชัน y = x + 1 นี้หาค่าได้ที่
ตําแหน่ง = 1
x และ x = 2
ลิมิตของฟังก์ชัน
กําหนดฟังก์ชัน f(x) = 2x - 1 พิจารณาค่าของ f(x) เมื่อ
x มีค่าเข้าใกล้ 2 โดยพิจารณาจาก
ตารางต่อไปนี้
เมื่อ
x มีค่าเข้าใกล้ 2 ทางซ้ายมือ (x < 2)
x 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999 1.999999
f(x) 2.8 2.98 2.998 2.9998 2.99998 2.999998
จากตารางจะได้ว่า 2x
−1
= 3
lim
x→2
−
เมื่อ
x มีค่าเข้าใกล้ 2 ทางขวามือ (x > 2)
x 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 2.000001
f(x) 3.2 3.02 3.002 3.0002 3.00002 3.000002
จากตารางจะได้ว่า 2x
−1
= 3
lim
x→2
+
จากตารางทั้งสองจะเห็นว่า
เมื่อ
x มีค่าเข้าใกล้ 2 ทางซ้ายหรือทางขวา f(x) จะมีค่าเข้าใกล้ 3
ทั้งสองด้าน
ซึ่งเราสามารถแสดงได้เป็น
lim
x→2
2x
−1
=
3
เรียกว่าฟังก์ชัน f ( x)
= 2x −1
หาลิมิตที่
x เข้าสู่
2 ได้ และจากฟังก์ชัน f ( x)
= 2x −1
นี้
จะเห็นได้ว่า
สามารถหาค่าได้ทุก ค่าของ x
*** ฟังก์ชันบางฟังก์ชันอาจหาค่าไม่ได้ที่ตําแหน่งหนึ่งของตัวแปรต้น
แต่สามารถหาลิมิตได้ที่
ตําแหน่งนั้น
เช่น ( )
( 2x
+ 3)(
x −1)
f x = ซึ่งฟังก์ชันนี้ไม่สามารถหาค่าได้ที่ตําแหน่ง
x = 1แต่สามารถ
( x −1)
หาลิมิตได้ ที่
x มีค่าเข้าใกล้ 1 ดังนี้
เมื่อ
x มีค่าเข้าใกล้ 1 ทางซ้ายมือ (x < 1)
x 0 0.5 0.75 0.99 0.999 0.9999
f(x) 3 4 4.5 4.98 4.998 0.49998

ว30405 คณิตศาสตร์สําหรับฟิสิกส์ - 2 -
จากตารางจะได้ว่า
( 2x
+ 3)(
x −1)
lim = 5
−
x→1
( x −1)
เมื่อ
x มีค่าเข้าใกล้ 1 ทางขวามือ (x > 1)
x 2 1.5 1.1 1.01 1.001 1.0001
f(x) 7 5 5.2 5.02 5.002 5.0002
่ ่
่
จากตารางจะได้ว่า
( 2x
+ 3)(
x −1)
lim = 5
+
x→1
( x −1)
ซึ่งจะเห็นได้ว่า
( 2x
+ 3)(
x −1)
lim+
x→1
( x −1)
=
( 2x
+ 3)(
x −1)
lim−
x→1
( x −1)
ดังนั้น
จะได้
( 2x
+ 3)(
x −1)
lim = 5 หรือฟังก์ชัน ( )
( 2x
+ 3)(
x −1)
f x = หาลิมิตที x เข้าสู 1 ได้
x→1
( x −1)
( x −1)
แต่หาค่าที x=1 หรือ f () 1 ไม่ได้
่
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต
ถ้า k เป็นค่าคงที และ lim f ( x)
= L , lim g(
x)
= M แล้ว
x→a
x→a
1. lim mx + c = ma + c
x→a
2. lim[ f ( x)
± g(
x)
] = lim f ( x)
± lim g(
x)
x→a x→a
x→a
=
L ± M
3. lim f ( x).
g(
x)
= [ lim f ( x)
] [ lim g(
x)
]
4.
x→a x→a
x→a
= LM
f ( x)
lim
x→a
g(
x)
=
lim f ( x)
x→a
lim g(
x)
x→a
=
L
M
, M ≠ 0
n lim f ( x)
= lim f ( x)
5. n
x→a
x→a
n = L เมื่อ
L > 0 และ
+
n ε I
6. สําหรับ f ( x)
= k,
lim f ( x)
x→a
= lim k = k
x→a
7. lim [ k ± f ( x)
] = lim k ± lim f ( x)
= k ± L
x→a
=
x→a
k ± L
x→a
8. lim kf ( x)
= ( lim f ( x)
) = k lim f ( x)
9.
x→a x→a
x→a
k
lim
x→a
f ( x)
limk
k k
x→a
= = = , L ≠ 0
lim f ( x)
lim f ( x)
L
x→a
x→a

ว30405 คณิตศาสตร์สําหรับฟิสิกส์ - 3 -
ฟังก์ชันต่อเนื่อง
ฟังก์ชัน f ( x)
เป็นฟังก์ชันต่อเนื
1. f ( a)
หาค่าได้
2. lim f ( x)
หาค่าได้
x→a
3. f ( a)
= lim f ( x)
x→a
่องที่
a ก็ต่อเมื่อ
แคลคูลัสเบื้องต้น
แคลคูลัสเป็นการศึกษาอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรหนึ่งเทียบกับตัวแปรอื่นๆ
อนุพันธ์ (Derivative)
พิจารณากราฟของฟังก์ชัน f
กําหนดให้ จุด P(x, f(x)) และ Q(x+h, f(x+h)) เป็นจุดสองจุดอยู่บนกราฟเส้นโค้ง
ก. แสดงการหาความชันของเส้นตรง PQ ข. แสดงการหาความชันของกราฟเส้นโค้งที่จุด
x
รูปที่
1
QR
จากรูป ที่
1 ก. ความชันของเส้นตรง PQ เท่ากับ ถ้า m เป็นความชันของเส้นตรง PQ จะได้ว่า
PR
f ( x + h)
− f ( x)
m = ซึ่งความชันก็คือ
อัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรตามต่อการเปลี่ยนแปลงของ
h
ตัวแปรต้น นั่นเอง
ซึ่งกรณีนี้ความสัมพันธ์เป็นแบบเชิงเส้น
หากพิจารณาที่กราฟของเส้นโค้ง
ความชันของกราฟที่ตําแหน่งต่างๆ
จะมีค่าไม่เท่ากัน ซึ่งการหา
ความชันที่ตําแหน่งใดๆ
(ความชันที่ตําแหน่งใดๆ
นี้ก็
คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรตามต่อ
การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรต้นที่ตําแหน่งใดๆ)
นี้สามารถทําได้ดังนี้
เช่น ต้องการหาความชันของกราฟ
ที่ตําแหน่ง
x โดยให้ ตําแหน่ง x+h เลื่อนเข้ามาใกล้
ตําแหน่ง x มากๆ (ซึ่งระหว่างตําแหน่ง
x ถึง x+h
จะได้ส่วนเล็กๆ ของเส้นโค้งนี้ซึ่งก็คือเส้นตรง)
และถ้าหากเลื่อนมาจนทําให้
h→ 0 ก็จะประมาณได้ว่า
ตําแหน่งทั้งสองเป็นตําแหน่งเดียวกัน
และถือว่าเป็นตําแหน่งที่เป็นจุดสัมผัสกราฟ
และหากหาความชันก็
จะได้ว่าเป็นความชันของกราฟที่ตําแหน่งนั้น
f ( x + h)
− f ( x)
ดังนั้น
ความชันของกราฟที่ตําแหน่งใด
ๆ เท่ากับ
lim
h→0
h

ว30405 คณิตศาสตร์สําหรับฟิสิกส์ - 4 -
เรียก ความชันที่ตําแหน่งใดๆ
นี้ก็
หรือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรตามต่อการเปลี่ยนแปลงของตัว
แปรต้นที่ตําแหน่งใดๆ
นี้ว่า
“ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เทียบกับ x ” และสามารถแทนสัญลักษณ์
dy d
, f ( x)
, f ( x)
, Dx
f ( x)
dx dx
′ ดังนั้น
dy
dx
f ( x + h)
− f ( x)
การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คือ = lim
h→0
h
ข้อสังเกต เนื่องจากอนุพันธ์เป็นการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรตามเทียบกับการ
เปลี่ยนแปลงของตัวแปรต้นเมื่อตัวแปรต้นเปลี่ยนไปน้อยมากๆ
ด้วยเหตุนี้ค่าของตัวแปรตามจะต้อง
เป็นไปได้ทุกๆ ค่าของตัวแปรตาม ดังนั้น
การหาอนุพันธ์ต้องใช้กับฟังก์ชั่นที่ต่อเนื่องเท่านั้น
สมบัติพื้นฐานการหาอนุพันธ์
เมื่อ
c และ n เป็นค่าคงที่
และ u และ v เป็นฟังก์ชันของ x
d d
1. ( cu)
= c ( u)
dx dx
d
d d
u + v + ... = ( u)
+ ( v)
+
dx
dx dx
d d d
( uv)
= u ( v)
+ v
dx dx dx
d d
v ( u)
− u ( v)
d ⎛ u ⎞
⎜ ⎟ = dx dx ,
2
dx ⎝ v ⎠ v
d 1
f x =
dx dx
df ( x)
dy dy du
= . ; เมื
dx du dx
2. ( ) ....
3. u
4. v
5. ( )
6.
สูตรการหาอนุพันธ์พื้นฐาน
d
1. ( c)
= 0
n n−1
3. ( x ) = nx
≠ 0
่อ y(u(x)) เรียกว่า “ กฎลูกโซ่ ”
5. ( sin u)
= cos u
6. ( )
7. ( tan u)
= sec
8. ( )
9. ( sec u)
= sec u tan u
10. ( )
11.
dx
d
2. ( x)
= 1
dx
d
dx
d n n−1
d
4. ( u ) = nu ( u)
dx
dx
d
dx
du
dx
d
dx
cosu du
= −sin
u
dx
d
dx
2 du
u
dx
d
dx
cot u
2 du
= −csc
u
dx
d
dx
du
dx
d
dx
cscu = −csc
u cot u
d u u
e = e
dx
du
dx
d 1 du
12. ln( u)
=
dx u dx
du
dx

ว30405 คณิตศาสตร์สําหรับฟิสิกส์ - 5 -
2
ตัวอย่างที่
1 จงหาความชันของกราฟพาราโบลา y = 5x ที่ตําแหน่งใดๆ
และที่ตําแหน่ง
x =2
วิธีทํา
ความชันที่ตําแหน่งใดๆ
(หมายถึงที่ตําแหน่ง
x ใดๆ นั่นเอง)
ซึ่งก็
คือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x)
dy d 2 d 2
เทียบกับ x = ( 5x
) = 5 x = 10x
***
dx
dx
ความชันของกราฟที่ตําแหน่ง
x =2 (แทน x = 2 ในความชันตําแหน่งใดๆ) จะได้ ความชัน
เท่ากับ (10)(2) = 20 ***
ตัวอย่างที่
2 หากรถคันวิ่งไปบนถนนทางตรงโดยมีระยะทางที่วิ่งไป
( s) เป็นฟังก์ชันของเวลา () t
2
ดังสมการ s = 10t + 2t
เมตร และ t มีหน่วยเป็น วินาที จงหาอัตราส่วนการเปลี่ยนแปลงระยะทางต่อ
การเปลี่ยนแปลงของเวลา
(ซึ่งก็คือ
อัตราเร็ว) ที่เวลาใดๆ
และที่เวลาวินาทีที่
5
วิธีทํา
อัตราส่วนการเปลี่ยนแปลงระยะทางต่อการเปลี่ยนแปลงของเวลา
ที่เวลาใดๆก็
คือ อนุพันธ์ของ
ฟังก์ชัน s () t เทียบกับ t
ds
dt
d
dt
dx
2 ( 10t
+ 2t
) = 10 + 4t
= เมตร/วินาที ***
อัตราส่วนการเปลี่ยนแปลงระยะทางต่อการเปลี่ยนแปลงของเวลา
ที่เวลาวินาทีที่
5 ( t = 5 )
จะได้ อัตราส่วนการเปลี่ยนแปลงระยะทางต่อการเปลี่ยนแปลงของเวลา
หรือ อัตราเร็ว เท่ากับ
10 + 4()
5 = 50 เมตร/วินาที ***
ปฏิยานุพันธ์ (Integral)
d
ปฏิยานุพันธ์ เป็นการกระทําตรงกันข้ามกับอนุพันธ์ ซึ่งถ้า
f ( x)
= g(
x)
แล้วเราสามารถ
dx
หาฟังก์ชัน f ( x)
โดยการหารปฏิยานุพันธ์ของ g ( x)
เขียนแทนด้วย
∫ g(
x)dx
ซึ่งบางครั้งอาจเรียกว่า
อินทิกรัลแบบไม่จํากัดเขตของ g ( x)
แต่เนื่องจาก
การหาอนุพันธ์
d
ของค่าคงที่
ได้เท่ากับ ศูนย์ c = 0 ดังนั้นเมื่อทําการหาอินทิกรัลแบบไม่จํากัดเขต
ผลลัพธ์ที่ได้
dx
จะต้องบวกค่าคงที่เสมอ
เช่น
2
กําหนดให้ f ( x)
= x + 5 จะได้ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f1 ( x)
เท่ากับ
1
2 ( x 5)
= 2x
d
dx
2 x
2
= x +
d
dx
2
x 1 = 2
x
+ แสดงว่า g ( x)
2x
1 =
หรือกําหนดให้ f ( ) 1 จะได้ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f2 ( x)
เท่ากับ
( ) x
+ แสดงว่า g ( x)
2x
2 =
จะเห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f1 ( ) และ f2 ( x)
ต่างก็เท่ากับ 2 x
2
ดังนั้นเมื่อทําการหาปฏิยานุพันธ์ของ
2 x จะได้ว่า 2 x dx = x + c เมื่อ
c เป็นค่าคงที่และ
สามารถหาได้โดยต้องกําหนดเงื่อนไขเริ่มต้น
(Initial conditions) มาให้ ดังนั้น
ถ้า f ( x)
= g(
x)
dx
แล้ว อินทิกรัลแบบไม่จํากัดเขต ของ g ( x)
จะได้
∫
g ( x)
dx = f ( x)
+ c
∫
d

ว30405 คณิตศาสตร์สําหรับฟิสิกส์ - 6 -
นอกจากนี้
ถ้า f ( x)
มีความต่อเนื่องใน
a ≤ x ≤ b แล้วยังสามารถหา อินทิกรัลแบบจํากัดเขต ของ
g ( x)
ได้ดังนี้
b
b
( x)
dx = f ( x)
= f ( b)
− f ( a)
∫ g
a
a
จะสังเกตเห็นว่า อินทิกรัลแบบไม่จํากัดเขต ไม่ต้องใส่ค่าคงที่
เพราะค่าคงที่จะตัดกันไปจาก
( b)
f ( a)
f −
อินทิกรัลจํากัดเขต (The Definite Integral)
พื้นที่ใต้เส้นโค้ง
สมมติให้ y = f (x)
เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
ให้ A แทนพื้นที่ของรูป
CMPD
เมื่อ
x เพิ่มขึ้น
∆ x, A จะเพิ่มขึ้น
∆ A (คือพื้นที่รูป
MNQP)
จากรูปจะได้ พื้นที่
MNRP < พื้นที่รูป
MNQP < MNQS
MP. ∆ x < ∆ A < NQ. ∆ x
∆A
MP < < NQ (หารด้วย ∆ x ≠ 0)
∆x
ถ้าให้ ∆ x เข้าสู่ศูนย์
(∆ x → 0) แล้ว NQ จะเข้าใกล้ MP
เมื่อ
y เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของ
x จะได้
จากหลัก differential calculus
dA = d(
A + c)
dA
= MP
dx
dA
= y
dx
dA = ydx
( MP = y)
A เป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
และเป็นฟังก์ชันของ x และ C เป็นค่าคงที่
∫ dA A + c
dA =
= 1
แต่ ydx
ดังนั้น
∫ ydx
= A + c1

ว30405 คณิตศาสตร์สําหรับฟิสิกส์ - 7 -
่
่
A = ∫ ydx + c ( c = −c1)
เนื่องจาก
A เป็นพื้นที่จํากัด
ดังนั้น
C มีค่าจํากัด
สมมติให้ ∫ ydx = g(x)
จะได้ A = g(
x)
+ c
ที่จุด
x = a, พื้นที
A = 0 จะได้ 0 = g a)
+ c
ที่จุด
x = b, พื้นที
A = A จะได้ A = g b)
+ c
ดังนั้น
c = −g(
a)
= A − g(
b)
นั่นคือ
A = g(
b)
− g(
a)
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A = g(x)
⎜ b
a
หรือ A
b
ydx = g(
b)
− g(
a)
คุณสมบัติเกี
b
่ยวกับ ∫
a
b
ydx
1. ∫ ∫ − = ydx
a
a
2. ∫ =
a
b
ydx 0
a
b
ydx
= ∫
a
( หรือ c = −g(a)
( หรือ c = A − g(b)
3. ∫ ydx = ∫ ydx + ∫ ydx เมื่อ
a, b, c คือ จุดใดๆ ในช่วงการอินทิเกรต
a
c
a
่
สมบัติพื้นฐานการหาปฏิยานุพันธ์
เมื่อ
c เป็นค่าคงที f ( x)
และ g ( x)
เป็นฟังก์ชันของ x
1.
d ( g(
x)
dx)
dx ∫ = g(
x)
2. ∫ cg( x)
dx = c∫
g(
x)dx
3. ( ( x)
g ( x)
) dx = g ( x)
dx ± g ( x)
∫
b
c
∫ 1 ∫
g1 2
2
สูตรพื้นฐานของการหาปฏิยานุพันธ์
1. n
u du =
n+
1
u
+ c
± dx
∫ n + 1
−1
u du = lnu
+ c
2. ∫
3. u
∫ a du =
u
a
+ c
ln a
4. u
∫ e du =
u
e + c
5. ∫ sin u du − cos
6. ∫ cos
u du sin u
= u + c
= + c

ว30405 คณิตศาสตร์สําหรับฟิสิกส์ - 8 -
ความหมายเชิงกายภาพของปฏิยานุพันธ์
การหาพื้นที่ใต้กราฟ
( A ) ของสมการ
2
y = x ในช่วง 1 ≤ 2
≤ x ดังรูปที
ก. ข.
รูปที่
2
สามารถทําได้โดยแบ่งพื้นที่ที่ต้องการหาเป็นสี่เหลี่ยมเล็กโดยมีความกว้างเป็น
∆x เท่าๆ กัน ดังรูปที่
2ข.
หากในพื้นที่ที่ต้องการหานี้ถูกแบ่งเป็นจํานวน
n รูป ซึ่งความสูงของรูปสี่เหลี่ยมแต่ละรูปนี้จะขึ้นกับค่าของ
2
x พื้นที่ใต้กราฟใต้กราฟของสมการ
y = x ในช่วง 1≤ x ≤ 2 คือ ผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมทั้งหมด
จํานวน n รูปนั่นเอง
สามารถเขียนแทนสมการได้เป็น
A
=
y ∆x
+ y ∆x
+
1 2 ...
+ y ∆x
n
=
n
∑
i=
1
y ∆x
ซึ่งวิธีนี้จะเป็นเพียงการคํานวณโดยประมาณเท่านั้น
เพราะการสร้างสี่เหลี่ยมจะต้องมีส่วนที่เกินจากกราฟ
เท่าๆกับส่วนที่หายไป
และจะเห็นได้ว่าหากเราแบ่งพื้นที่นี้ออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้เล็กมากเท่าไร
ความ
แม่นยําในการหาพื้นที่ใต้กราฟนี้ก็จะยิ่งมากขึ้น
ดังนั้น
หากแบ่งให้สี่เหลี่ยมผืนผ้านี้เล็กมากๆ
จน ∆x → 0
( n → ∞ ) จะได้ว่า
A
=
= ∫
lim
1
n
∑
y ∆x
=
3
x 2
3 1
2
∫
y(
x)dx
3 3
2 1
−
3 3
7
3
i
่ 2ก.
∆x→0
i=
1
i
1
2
2
x dx = = =
***
สังเกตได้ว่าเมื่อให้
∆x → 0 ( n → ∞ ) เราจะแทน ∆x ด้วย dx และ lim ∑ แทนด้วย
∆x→0
∫
i=
1
1
(ซึ่งเป็นสัญลักษณ์แทนการรวมสิ่งที่มีความต่อเนื่องเข้าด้วยกัน)
และ y i ซึ่งเป็นค่าของความสูงจะ
แทนด้วย y ( x)
เพราะเป็นฟังก์ชันของค่า x มีค่าขึ้นกับค่าของ
x ในแต่ละตําแหน่ง
ดังนั้น
สรุปได้ว่า
b
พื้นที่ใต้กราฟ
f ( x)
ในช่วง a ≤ x ≤ bจะเท่ากับ
∫
f ( x)dx
a
n
2

ว30405 คณิตศาสตร์สําหรับฟิสิกส์ - 9 -
ตัวอย่างที่
3 จงหาพื้นที่ใต้กราฟ
y = x ในช่วง 1≤ x ≤ 3
วิธีทํา
3
2
2 2
x 3 3 1
A = ∫ xdx = = − = 4
***
2 1 2 2
1
ตัวอย่างที่
4 รถคันหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วตามสมการ
v( t)
= 10 + 10t
เมตร/วินาที จงหา
ระยะทางที่รถคันนี้เคลื่อนที่ได้
() s เมื่อเวลาผ่านไป
10 วินาที (อัตราเร็วเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลง
ds
ของระยะทางในหนึ่งหน่วยเวลา,
v = )
dt
ds
dt
=
วิธีทํา จาก v = จะได้ s = ∫ v dt
หาระยะทางที่รถเคลื่อนที่จาก
t 0 วินาที ถึง t = 10 วินาที ดังนั้น
s
10
2 ⎛ 10t
⎞10
( 10 + 10t)
dt = ⎜10t
+ ⎟
= ∫
⎜
0
⎝
⎛ 10⋅10
= ⎜
⎜10⋅10
+
⎝ 2
= 600 เมตร
2
2 ⎟
⎠ 0
⎞ ⎛ 10⋅
0
⎟ − ⎜
⎜10⋅
0 +
⎠ ⎝ 2
ดังนั้นจะได้ระยะทางที่รถเคลื่อนที่ได้เมื่อเวลาผ่านไป
10 วินาที เท่ากับ 600 เมตร ***
2
⎟ ⎞
⎠
********