Approssimazione dell'esponenziale

Approssimazione dell’esponenziale
Si calcola l’approssimazione di exp(x) mediante sviluppo in serie di Taylor opportunamente
troncato.
Più precisamente, per ogni fissato valore di x (si considereranno poi valori di
x equispaziati in un intervallo di estremi assegnati in input) si implementa il
seguente algoritmo di calcolo:
EXP n = EXP n−1 + xn
n! , n ≥ 1
EXP 0 = 1
fintanto che il valore di EXP n differisce dal valore di EXP n−1 .
È consigliabile calcolare il nuovo termine x n /n! facendo uso del termine precedentemente
calcolato x n−1 /(n − 1)!.
Si può inoltre verificare che per valori negativi di x è preferibile considerare
l’espressione equivalente
exp(x) = 1/ exp(−x)
ove exp(−x) viene approssimata con il metodo sopra indicato.
Di seguito trovate il diary dello svolgimento dell’esercizio, unitamente ai grafici
dei risultati ottenuti.
esponenziale_1
Estremo sinistro intervallo di campionamento=-10
Estremo destro intervallo di campionamento=10
whos
Numero di campionamenti=1000
Name Size Bytes Class
ERRORE_RELATIVO 1x1000 8000 double array
EXP_APP 1x1000 8000 double array
Nserie 1x1000 8000 double array
XCAMPIO 1x1000 8000 double array
Y_ESATTA 1x1000 8000 double array
Grand total is 5000 elements using 40000 bytes
f1=figure;
figure(f1)
plot(XCAMPIO,Y_ESATTA)
xlabel(’Valore di x’)
ylabel(’Valore esatto di exp(x)’)
title(’Calcolo exp(x) con funzione di libreria matlab’)
print -depsc2 exp_1
1

Calcolo exp(x) con funzione di libreria matlab
2.5 x 104 Valore di x
2
Valore esatto di exp(x)
1.5
1
0.5
0
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Figura 1: exp 1
f2=figure;
figure(f2)
plot(XCAMPIO,EXP_APP)
xlabel(’Valore di x’)
ylabel(’Valore approssimato di exp(x)’)
title(’Calcolo exp(x) con funzione esponenziale taylor 1’)
print -depsc2 exp_2
Calcolo exp(x) con funzione esponenziale taylor 1
2.5 x 104 Valore di x
2
Valore approssimato di exp(x)
1.5
1
0.5
0
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Figura 2: exp 2
f3=figure;
figure(f3)
plot(XCAMPIO,EXP_APP,XCAMPIO,Y_ESATTA)
xlabel(’Valore di x’)
ylabel(’Valore esatto e approssimato di exp(x)’)
2

title(’Calcolo exp(x) con funzione di libreria matlab e con funzione esponenziale
taylor 1’) legend(’valore approssimato’,’valore esatto’)
print -depsc2 exp_3
Calcolo exp(x) con funzione di libreria matlab e con funzione esponenziale taylor 1
2.5 x 104 Valore di x
valore approssimato
valore esatto
2
Valore esatto e approssimato di exp(x)
1.5
1
0.5
0
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Figura 3: exp 3
f4=figure; figure(f4)
plot(XCAMPIO,ERRORE_RELATIVO)
xlabel(’Valore di x’)
ylabel(’Errore relativo di approssimazione’)
title(’Approssimazione exp(x) con funzione esponenziale taylor 1’)
print -depsc2 exp_4
Approssimazione exp(x) con funzione esponenziale taylor 1
2 x 10−8 Valore di x
1.8
1.6
Errore relativo di approssimazione
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Figura 4: exp 4
f5=figure; figure(f5)
3

semilogy(XCAMPIO,ERRORE_RELATIVO)
xlabel(’Valore di x’)
ylabel(’Logaritmo Errore relativo di approssimazione’)
title(’Approssimazione exp(x) con funzione esponenziale taylor 1’)
print -depsc2 exp_5
Approssimazione exp(x) con funzione esponenziale taylor 1
10 −7 Valore di x
10 −8
Logaritmo Errore relativo di approssimazione
10 −9
10 −10
10 −11
10 −12
10 −13
10 −14
10 −15
10 −16
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Figura 5: exp 5
f6=figure; figure(f6)
plot(XCAMPIO,Nserie)
xlabel(’Valore di x’)
ylabel(’Valore di ultimo n usato’)
title(’Approssimazione exp(x) con funzione esponenziale taylor 1’)
print -depsc2 exp_6
60
Approssimazione exp(x) con funzione esponenziale taylor 1
50
Valore di ultimo n usato
40
30
20
10
0
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Valore di x
Figura 6: exp 6
4

ERRORE_RELATIVO_1=ERRORE_RELATIVO; EXP_APP_1=EXP_APP; Nserie_1=Nserie;
clear ERRORE_RELATIVO EXP_APP Nserie
whos
Name Size Bytes Class
ERRORE_RELATIVO_1 1x1000 8000 double array
EXP_APP_1 1x1000 8000 double array
Nserie_1 1x1000 8000 double array
XCAMPIO 1x1000 8000 double array
Y_ESATTA 1x1000 8000 double array
Grand total is 5000 elements using 40000 bytes
esponenziale_2
Estremo sinistro intervallo di campionamento=-10
Estremo destro intervallo di campionamento=10
Numero di campionamenti=1000
whos
ERRORE_RELATIVO 1x1000 8000 double array
ERRORE_RELATIVO_1 1x1000 8000 double array
EXP_APP 1x1000 8000 double array
EXP_APP_1 1x1000 8000 double array
Nserie 1x1000 8000 double array
Nserie_1 1x1000 8000 double array
XCAMPIO 1x1000 8000 double array
Y_ESATTA 1x1000 8000 double array
f7=figure; figure(f7)
plot(XCAMPIO,EXP_APP,XCAMPIO,Y_ESATTA)
xlabel(’Valore di x’), ylabel(’Valore esatto e approssimato di exp(x)’)
title(’Calcolo exp(x) con funzione di libreria matlab e con funzione esponenziale
taylor 2’) legend(’valore approssimato’,’valore esatto’)
print -depsc2 exp_7
Calcolo exp(x) con funzione di libreria matlab e con funzione esponenziale taylor 2
2.5 x 104 Valore di x
valore approssimato
valore esatto
2
Valore esatto e approssimato di exp(x)
1.5
1
0.5
0
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Figura 7: exp 7
5

f8=figure; figure(f8)
semilogy(XCAMPIO,ERRORE_RELATIVO)
xlabel(’Valore di x’), ylabel(’Logaritmo Errore relativo di approssimazione’)
title(’Approssimazione exp(x) con funzione esponenziale taylor 2’)
print -depsc2 exp_8
Approssimazione exp(x) con funzione esponenziale taylor 2
10 −7 Valore di x
10 −8
Logaritmo Errore relativo di approssimazione
10 −9
10 −10
10 −11
10 −12
10 −13
10 −14
10 −15
10 −16
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Figura 8: exp 8
f9=figure; figure(f9)
semilogy(XCAMPIO,ERRORE_RELATIVO,XCAMPIO,ERRORE_RELATIVO_1)
xlabel(’Valore di x’), ylabel(’Logaritmo Errore relativo di approssimazione’)
title(’Approssimazione exp(x) con funzione esponenziale taylor 1 e 2’)
legend(’valore approssimato taylor 1’,’valore approssimato taylor 2’)
print -depsc2 exp_9
Approssimazione exp(x) con funzione esponenziale taylor 1 e 2
10 −7 Valore di x
10 −8
valore approssimato taylor 1
valore approssimato taylor 2
Logaritmo Errore relativo di approssimazione
10 −9
10 −10
10 −11
10 −12
10 −13
10 −14
10 −15
10 −16
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Figura 9: exp 9
6

f10=figure; figure(f10)
plot(XCAMPIO,Nserie)
xlabel(’Valore di x’), ylabel(’Valore di ultimo n usato’)
title(’Approssimazione exp(x) con funzione esponenziale taylor 2’)
print -depsc2 exp_10
60
Approssimazione exp(x) con funzione esponenziale taylor 2
50
Valore di ultimo n usato
40
30
20
10
0
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Valore di x
Figura 10: exp 10
f11=figure; figure(f11)
[haxes,hlinea1,hlinea2]=plotyy(XCAMPIO,ERRORE_RELATIVO_1,XCAMPIO,ERRORE_RELATIVO_1,
’semilogy’,’plot’); axes(haxes(1)); ylabel(’Scala logaritmica’); axes(haxes(2));
ylabel(’Scala lineare’); xlabel(’Valore di x’)
title(’Approssimazione exp(x) con funzione esponenziale taylor 2’)
legend(’logaritmo valore approssimato taylor 2’,’valore approssimato taylor 2’)
print -depsc2 exp_11
10 −6
10 −7
Approssimazione exp(x) con funzione esponenziale taylor 2
logaritmo valore approssimato taylor 2
valore approssimato taylor 2
x 10 −8
2
1.8
10 −8
1.6
10 −9
1.4
Scala logaritmica
10 −10
10 −11
10 −12
1.2
1
0.8
Scala lineare
10 −13
0.6
10 −14
0.4
10 −15
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
0.2
10 0
Valore di x
Figura 11: exp 11
7

esponenziale_finale
f12=figure; figure(f12)
semilogy(XCAMPIO,ERRORE_RELATIVO)
xlabel(’Valore di x’); ylabel(’Logaritmo Errore relativo di approssimazione’)
title(’Approssimazione exp(x) con funzione esponenziale taylor 1 o 2’)
print -depsc2 exp_12
%
Approssimazione exp(x) con funzione esponenziale taylor 1 o 2
10 −15.1 Valore di x
10 −15.2
Logaritmo Errore relativo di approssimazione
10 −15.3
10 −15.4
10 −15.5
10 −15.6
10 −15.7
10 −15.8
10 −15.9
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Figura 12: exp 12
8