§ 17 Spazi affini euclidei e isometrie - Matematica e Applicazioni

Geometria I 154
Dato che, se A ≠ I, la rotazione A non ha autovalore 1 (cioè fissa nessun vettore diverso dallo
zero), quindi la matrice I − A ha nucleo banale, e dunque è invertibile. La matrice I − A
risulta quindi invertibile se A ≠ I, altrimenti è la matrice nulla. Ma allora se A ≠ I esiste un
unico punto fissato dalla isometria (la soluzione di (I − A)x = b), che chiamiamo q. Trasliamo
il sistema di riferimento, portando l’origine in q: x = x ′ + q. L’isometria si scriverà quindi
y = Ax + b
y ′ + q = A(x ′ + q)+b
y ′ = Ax ′ +(A − I)q + b = Ax ′ ,
cioè è una rotazione attorno a q. Quindi se A ≠ I si ha sempre una rotazione (anche se b ≠0).
In particolare, la composizione di una rotazione con una traslazione è ancora una rotazione!
Attenzione che la composizione di rotazioni attorno allo stesso centro è commutativa, la
composizione di traslazioni è commutativa, ma non la composizione di rotazioni e traslazioni:
x ↦→ Ax ↦→ Ax + b
x ↦→ x + b ↦→ A(x + b) =Ax + Ab.
Cosa succede per rotazioni con centri diversi (si veda l’esercizio (9.22))?
Le isometrie del piano euclideo che non sono dirette sono le riflessioni attorno a rette (se
fissano una retta, simmetrie assiali) e le glissoriflessioni (se non fissano alcun punto), che sono
composizione di una riflessione e di una traslazione lungo la direzione dell’asse di simmetria.
(17.19) Esempio. In E 3 , l’isometria di equazione y = Ax + b è una rotazione (attorno ad
una retta per l’origine) se A ≠ I e b =0, dato che A ∈ SO(3). Altrimenti, come sopra un
punto x fissato dalla isometria risolve l’equazione (I −A)x = b. Ma ogni rotazione A ∈ SO(3),
se non banale, ha un autovettore con autovalore 1 (cioè fissa un vettore di R 3 , e quindi tutta
la retta generata dallo stesso). Quindi la matrice I − A non è mai invertibile. Se A ≠ I,
il rango sarà 1 o 2. Certamente la direzione parallela all’asse di rotazione sarà nel nucleo di
I − A. È possibile vedere (con un cambio di coordinate: esercizio) che I − A ha rango 2 e ha
per sottospazio immagine il piano ortogonale all’asse di rotazione. Quindi, se b è un vettore
ortogonale all’asse di rotazione, ci sono punti fissati (una retta di punti fissati). Altrimenti,
no. Nel primo caso, si tratta di una rotazione attorno ad una retta (non non necessariamente
per l’origine), nel secondo caso? Scriviamo b come somma di due vettori b = b 1 + b 2 , il primo
ortogonale alla direzione fissata (e quindi nell’immagine di I − A) e il secondo b 2 parallelo alla
direzione fissata (e quindi nel nucleo di I −A). Allora y = Ax+b =(Ax+b 1 )+b 2 . L’isometria
y = Ax + b si scrive quindi come composizione
x ↦→ Ax + b 1 ↦→ (Ax + b 1 )+b 2 ,
dove la prima è una rotazione attorno ad una retta di E 3 , e la seconda è una traslazione lungo
la direzione b 2 (che è diversa da zero dato che b per ipotesi non è ortogonale all’asse). Si