§ 17 Spazi affini euclidei e isometrie - Matematica e Applicazioni

Geometria I 152
Dimostrazione. Nella dimostrazione della proposizione precedente (17.12) abbiamo di fatto
dimostrato anche che la trasformazione L associata ad una isometria conserva il prodotto
scalare e le norme (abbiamo usato questa proprietà per mostrare che è lineare), e cioè che è
una trasformazione ortogonale. Viceversa, supponiamo che un isomorfismo affine f : X → Y
abbia la proprietà che la trasformazione lineare associata L sia ortogonale. Allora L(v − w) =
L(v) − L(w) per ogni v, w ∈ −→ X , e quindi per ogni x = x 0 + v e y = x 0 + w in X si ha
|f(x) − f(y)| = |f(x 0 + v) − f(x 0 + w)|
= |f(x 0 + v) − f(x 0 )+f(x 0 ) − f(x 0 + w)|
= |L(v) − L(w)|
= |v − w|
= |x 0 + v − (x 0 + w)|
= |x − y|,
cioè f è una isometria.
qed
(17.14) Proposizione. Le isometrie tra spazi (affini) euclidei si scrivono, scelti sistemi di
riferimenti ortonormali, come
x ↦→ Ax + b,
dove A ∈ O(n) è una matrice ortogonale e b un vettore.
Dimostrazione. Come la dimostrazione di (15.10) (esercizio (9.2)).
qed
(17.15) Le traslazioni sono isometrie.
Dimostrazione. Vedi esercizio (9.4).
qed
Dato che una matrice ortogonale A ∈ O(n) ha determinante uguale a ±1, la parte lineare
di una isometria di E n può avere determinante 1 oppure −1 (cioè essere in SO(n) oppure no).
(17.16) Definizione. Una isometria E n → E n rappresentata in un sistema di riferimento da
x ↦→ Ax + b è detta diretta se det A =1(cioè A ∈ SO(n) ⊂ O(n)), altrimenti è detta inversa.
Se x è la n-upla di coordinate rispetto ad un sistema di riferimento euclideo (ortonormale)
e x ′ è la n-upla di coordinate dello stesso punto rispetto ad un altro riferimento, si ha
x = Qx ′ + c
per una certa matrice ortogonale Q e un punto/vettore c. Allora la mappa x ↦→ Ax + b si
scrive, ponendo y = Ax + b, ey = Qy ′ + c
y = Ax + b
Qy ′ + c = A(Qx ′ + c)+b
Qy ′ = AQx ′ + Ac + b − c
y ′ = Q −1 AQx ′ + Q −1 (Ac + b − c).