§ 17 Spazi affini euclidei e isometrie - Matematica e Applicazioni
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Geometria I 152<br />
Dimostrazione. Nella dimostrazione della proposizione precedente (<strong>17</strong>.12) abbiamo di fatto<br />
dimostrato anche che la trasformazione L associata ad una isometria conserva il prodotto<br />
scalare e le norme (abbiamo usato questa proprietà per mostrare che è lineare), e cioè che è<br />
una trasformazione ortogonale. Viceversa, supponiamo che un isomorfismo affine f : X → Y<br />
abbia la proprietà che la trasformazione lineare associata L sia ortogonale. Allora L(v − w) =<br />
L(v) − L(w) per ogni v, w ∈ −→ X , e quindi per ogni x = x 0 + v e y = x 0 + w in X si ha<br />
|f(x) − f(y)| = |f(x 0 + v) − f(x 0 + w)|<br />
= |f(x 0 + v) − f(x 0 )+f(x 0 ) − f(x 0 + w)|<br />
= |L(v) − L(w)|<br />
= |v − w|<br />
= |x 0 + v − (x 0 + w)|<br />
= |x − y|,<br />
cioè f è una isometria.<br />
qed<br />
(<strong>17</strong>.14) Proposizione. Le <strong>isometrie</strong> tra spazi (<strong>affini</strong>) <strong>euclidei</strong> si scrivono, scelti sistemi di<br />
riferimenti ortonormali, come<br />
x ↦→ Ax + b,<br />
dove A ∈ O(n) è una matrice ortogonale e b un vettore.<br />
Dimostrazione. Come la dimostrazione di (15.10) (esercizio (9.2)).<br />
qed<br />
(<strong>17</strong>.15) Le traslazioni sono <strong>isometrie</strong>.<br />
Dimostrazione. Vedi esercizio (9.4).<br />
qed<br />
Dato che una matrice ortogonale A ∈ O(n) ha determinante uguale a ±1, la parte lineare<br />
di una isometria di E n può avere determinante 1 oppure −1 (cioè essere in SO(n) oppure no).<br />
(<strong>17</strong>.16) Definizione. Una isometria E n → E n rappresentata in un sistema di riferimento da<br />
x ↦→ Ax + b è detta diretta se det A =1(cioè A ∈ SO(n) ⊂ O(n)), altrimenti è detta inversa.<br />
Se x è la n-upla di coordinate rispetto ad un sistema di riferimento euclideo (ortonormale)<br />
e x ′ è la n-upla di coordinate dello stesso punto rispetto ad un altro riferimento, si ha<br />
x = Qx ′ + c<br />
per una certa matrice ortogonale Q e un punto/vettore c. Allora la mappa x ↦→ Ax + b si<br />
scrive, ponendo y = Ax + b, ey = Qy ′ + c<br />
y = Ax + b<br />
Qy ′ + c = A(Qx ′ + c)+b<br />
Qy ′ = AQx ′ + Ac + b − c<br />
y ′ = Q −1 AQx ′ + Q −1 (Ac + b − c).