§ 17 Spazi affini euclidei e isometrie - Matematica e Applicazioni

Geometria I 150
⎡ ⎤
y 1
y 2
f(y − O) = ⎢ ⎥
⎣ . ⎦ ∈ Rn
y n
da cui segue che
d X (x, y) =|x − y|−→ X
= |(x − O) − (y − O)|−→ X
n∑
= | (x i − y i )e i |−→ X
i=1
√
n∑
n∑
= √〈 (x i − y i )e i , (x j − y j )e j 〉
= √
i=1
j=1
n∑
(x i − y i )(x j − y j )〈e i , e j 〉
i,j=1
∑
= √ n (x i − y i ) 2
i=1
= |f(x) − f(y)| R n = d R n(f(x),f(y)).
qed
(17.12) Siano X e Y spazi affini euclidei e f : X → Y una isometria (cioè una biiezione tale
che |f(x) − f(y)| Y = |x − y| X per ogni x, y ∈ X). Allora f è un isomorfismo affine (una
trasformazione affine invertibile).
Dimostrazione. Cominciamo a mostrare che f è una mappa affine, cioè, per la definizione
(15.1), che per ogni x ∈ X la funzione indotta sugli spazi vettoriali sottostanti −→ X → −→ Y
definita da
v ∈ −→ X ↦→ f(x + v) − f(x) ∈ −→ Y
è lineare. In realtà, per (15.5), basta farlo vedere per un solo x 0 ∈ X. Sia T : −→ X → −→ Y la
funzione definita da T (v) =f(x 0 + v) − f(x 0 ). Per ipotesi si ha che per ogni v ∈ −→ X
|v|−→ X
= |(x 0 + v) − x 0 | X
= |f(x 0 + v) − f(x 0 )| Y
= |T (v)|−→ Y
,
e quindi la trasformazione T conserva la norma. Osserviamo anche che per v = 0 questo
implica che |T (0)| =0, e quindi T (0) =0 (dove qui con un abuso di notazione usiamo in