§ 17 Spazi affini euclidei e isometrie - Matematica e Applicazioni

Geometria I 166
(vii) Se [x] ∈ ¯X è una classe di equivalenza di poli, allora G x = G y per ogni y ∈ [x], e l’insieme
f −1 ([x]) ha |G x |− 1 elementi.
(viii) Valgono le uguaglianze
2(|G|− 1) = 2 ∑
(|G x |− 1)
(ix) Vale l’uguaglianza
[x]∈ ¯X(|G x |− 1) = ∑ x∈X
2(|G|− 1) = ∑
¯x∈X/G
|G|
n¯x
(n¯x − 1).
(x) Se G non è il gruppo banale, valgono le disuguaglianze
(xi) Valgono le disuguaglianze
1 ≤ ∑
¯x∈X/G
1
2 |X/G| ≤ ∑
¯x∈X/G
(1 − 1 n¯x
) < 2.
(1 − 1 n¯x
) < |X/G|,
da cui
2 ≤|X/G| ≤ 3.
(xii) Ci sono 2 o 3 orbite di poli in X/G. Se X/G = {¯x 1 , ¯x 2 }, allora posto n 1 = n¯x1 e n 2 = n¯x2
si ha
2
|G| = 1 n 1
+ 1 n 2
,
e questo implica n 1 = n 2 = |G| (osserviamo che se n = |G|, allora n/n i è intero per
i =1, 2 e che n/n 1 +n/n 2 = ...). Quindi G è il gruppo ciclico generato da una rotazione,
indicato con il simbolo C n .
(xiii) Se X/G = {¯x 1 , ¯x 2 , ¯x 3 }, allora posto n = |G|, n 1 = n¯x1 , n 2 = n¯x2 e n 3 = n¯x3 si ha
1+ 2 n = 1 n 1
+ 1 n 2
+ 1 n 3
.
Allora se supponiamo n 1 ≥ n 2 ≥ n 3 > 1, deve essere n 3 =2, e quindi
1
2 + 2 n = 1 n 1
+ 1 n 2
.
(xiv) Dalla disequazione precedente e da n 1 ≥ n 2 ≥ 2, si deduce che n 2 ∈{2, 3}.
(xv) Se n 2 =2, allora 2n 1 = n, quindi (n 1 ,n 2 ,n 3 ) = ( n , 2, 2). Il gruppo G è (deve essere!
2
perché?) il gruppo generato da due rotazioni di angolo π attorno a due assi che si
intersecano nell’origine con angolo 2π/n (gruppo diedrale di ordine n =2n 1 , indicato
con il simbolo D n1 ).