§ 17 Spazi affini euclidei e isometrie - Matematica e Applicazioni

Geometria I 148
ossia e i · e j = δ ij .
(17.5) Esempio. Consideriamo lo spazio E di tutti i polinomi a coefficienti reali di grado al
più n:
p(x) =a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n .
È uno spazio vettoriale su R rispetto alla somma di polinomi e al prodotto per uno scalare.
Se p, q ∈ E, sia
〈p, q〉 =
∫ 1
0
p(t)q(t) dt.
È uno prodotto scalare? È certamente bilineare, simmetrica e definito positivo (per esercizio
i dettagli: basta osservare che l’integrale di una funzione positiva o nulla p 2 è nullo solo se la
funzione è zero, e se un polinomio è sero in [0, 1], allora è il polinomio nullo). Esiste una base
ortonormale in E? Come trovarla?
(17.6) (Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e disuguaglianza triangolare) Per ogni x, y ∈ E
si ha:
|〈x, y〉| ≤ |x||y|
|x + y| ≤ |x| + |y|.
Quindi la norma è una norma nel senso di (11.18 ) a pagina 94. E la distanza definita su E
da d(x, y) =|x − y| è una metrica (che rende E spazio topologico, con la topologia metrica),
nel senso di (1.1 ) a pagina 1.
Dimostrazione. Esercizio (9.3).
(17.7) Il prodotto scalare e la norma sono legate dalle due identità (equivalenti)
|x + y| 2 = |x| 2 + |y| 2 +2〈x, y〉
〈x, y〉 = 1 (
|x + y| 2 −|x| 2 −|y| 2) .
2
(17.8) Definizione. Uno spazio affine euclideo è uno spazio affine (X, −→ X ) per cui lo spazio
delle traslazioni (dei vettori) −→ X è uno spazio vettoriale euclideo. Un riferimento affine
{A 0 ,A 1 , . . . , A n } di X è ortonormale se ( −−−→ A 0 A 1 , −−−→ A 0 A 2 , . . . , −−−→ A 0 A n ) è una base ortonormale per
−→ X . Allora X è uno spazio metrico con la metrica definita da
dove la norma è la norma euclidea in −→ X .
d(A, B) =| −→ AB|,
(17.9) Definizione (Spazio euclideo E n ). Se R n ha il prodotto scalare standard, allora lo
spazio affine A n (R) è uno spazio affine euclideo, che indichiamo con il simbolo E n .
Una isometria tra spazi affini non è altro che una funzione biunivoca che conserva le
distanze, e quindi:
qed