§ 17 Spazi affini euclidei e isometrie - Matematica e Applicazioni
§ 17 Spazi affini euclidei e isometrie - Matematica e Applicazioni
§ 17 Spazi affini euclidei e isometrie - Matematica e Applicazioni
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Geometria I 148<br />
ossia e i · e j = δ ij .<br />
(<strong>17</strong>.5) Esempio. Consideriamo lo spazio E di tutti i polinomi a coefficienti reali di grado al<br />
più n:<br />
p(x) =a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n .<br />
È uno spazio vettoriale su R rispetto alla somma di polinomi e al prodotto per uno scalare.<br />
Se p, q ∈ E, sia<br />
〈p, q〉 =<br />
∫ 1<br />
0<br />
p(t)q(t) dt.<br />
È uno prodotto scalare? È certamente bilineare, simmetrica e definito positivo (per esercizio<br />
i dettagli: basta osservare che l’integrale di una funzione positiva o nulla p 2 è nullo solo se la<br />
funzione è zero, e se un polinomio è sero in [0, 1], allora è il polinomio nullo). Esiste una base<br />
ortonormale in E? Come trovarla?<br />
(<strong>17</strong>.6) (Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e disuguaglianza triangolare) Per ogni x, y ∈ E<br />
si ha:<br />
|〈x, y〉| ≤ |x||y|<br />
|x + y| ≤ |x| + |y|.<br />
Quindi la norma è una norma nel senso di (11.18 ) a pagina 94. E la distanza definita su E<br />
da d(x, y) =|x − y| è una metrica (che rende E spazio topologico, con la topologia metrica),<br />
nel senso di (1.1 ) a pagina 1.<br />
Dimostrazione. Esercizio (9.3).<br />
(<strong>17</strong>.7) Il prodotto scalare e la norma sono legate dalle due identità (equivalenti)<br />
|x + y| 2 = |x| 2 + |y| 2 +2〈x, y〉<br />
〈x, y〉 = 1 (<br />
|x + y| 2 −|x| 2 −|y| 2) .<br />
2<br />
(<strong>17</strong>.8) Definizione. Uno spazio affine euclideo è uno spazio affine (X, −→ X ) per cui lo spazio<br />
delle traslazioni (dei vettori) −→ X è uno spazio vettoriale euclideo. Un riferimento affine<br />
{A 0 ,A 1 , . . . , A n } di X è ortonormale se ( −−−→ A 0 A 1 , −−−→ A 0 A 2 , . . . , −−−→ A 0 A n ) è una base ortonormale per<br />
−→ X . Allora X è uno spazio metrico con la metrica definita da<br />
dove la norma è la norma euclidea in −→ X .<br />
d(A, B) =| −→ AB|,<br />
(<strong>17</strong>.9) Definizione (<strong>Spazi</strong>o euclideo E n ). Se R n ha il prodotto scalare standard, allora lo<br />
spazio affine A n (R) è uno spazio affine euclideo, che indichiamo con il simbolo E n .<br />
Una isometria tra spazi <strong>affini</strong> non è altro che una funzione biunivoca che conserva le<br />
distanze, e quindi:<br />
qed