§ 17 Spazi affini euclidei e isometrie - Matematica e Applicazioni

Geometria I 162
Esercizi: foglio 9
*(9.1) Dimostrare che se {e 1 ,e 2 , . . . , e n } sono un insieme di vettori ortogonali di uno spazio
vettoriale euclideo E, allora sono linearmente indipendenti. È vero anche il viceversa (cioè che
se si considerano n vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale euclideo E allora
sono ortogonali)? (Suggerimento: se sono linearmente dipendenti allora si possono trovare n
coefficienti non tutti nulli λ 1 , λ 2 , . . . , λ n tali che λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + · · · + λ n e n =0. Ma se λ i ≠0
e si moltiplicano entrambi i membri per e i – con il prodotto scalare – si ottiene . . . . Per il
viceversa: in A 2 (R) trovare due vettori linearmente indipendenti ma non ortogonali.
*(9.2) Dimostrare che le isometrie tra spazi (affini) euclidei si scrivono, scelti sistemi di riferimenti
ortonormali, come
x ↦→ Ax + b,
dove A è una matrice ortogonale e b un vettore. (Suggerimento: come nella dimostrazione
(15.10 ))
(9.3) Dimostrare il lemma (17.6) a pagina 148.
(9.4) Dimostrare che le traslazioni di uno spazio euclideo sono isometrie.
*(9.5) Determinare una formula per la proiezione ortogonale di uno spazio euclideo E n su un
suo sottospazio affine S di dimensione d < n, dato un punto di S e una base ortonormale per
−→ S .(Suggerimanto: si veda la dimostrazione di (18.5 ), in cui si proietta su un sottospazio di
dimensione 1 – una retta. Proiettare sulle rette generate dagli elementi della base e sommare
...)
(9.6) Siano A, B, C ∈ E n tre punti di uno spazio euclideo. Dati altri tre punti A ′ ,B ′ ,C ′ ∈ E n ,
dimostrare che esiste una isometria f : E n → E n tale che f(A) =A ′ , f(B) =B ′ e f(C) =C ′
se e solo se f conserva le distanze tra i punti, cioè
|A ′ − B ′ | = |A − B|, |B ′ − C ′ | = |B − C|, |A ′ − C ′ | = |A − C|.
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 0 0
(9.7) Siano A = ⎣0⎦, B = ⎣1⎦, C = ⎣0⎦ tre punti di E 3 . Esiste una isometria f : E 3 → E 3
0 0 1
tale che f(A) =B, f(B) =C e f(C) =A? Se sì, quale (scriverla in forma matriciale)?
(9.8) Siano r 1 e r 2 due rette di E 3 . Sotto quali condizioni esiste una isometria che manda r 1
in r 2 ?
⎡ ⎤
⎡ ⎤
1
1
(9.9) Calcolare la distanza tra il punto ⎣1⎦ di E 3 e il piano passante per ⎣2⎦ ortogonale al
⎡ ⎤
1
3
1
vettore ⎣0⎦.
0