§ 17 Spazi affini euclidei e isometrie - Matematica e Applicazioni
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Geometria I 160<br />
dove b = 〈A, n〉. Per sottospazi generici (cioè non solo di dimensione n−1, basta prendere una<br />
base del complemento ortogonale W (e questi saranno vettori ortogonali a S) e, nello stesso<br />
modo, scrivere S come luogo delle soluzioni di un sistema di equazioni.<br />
(18.10) Esempio. Torniamo all’esempio (<strong>17</strong>.5): qual è il polinomio di grado 2 a coefficienti<br />
reali che è più vicino (nel senso della distanza tra funzioni indotta dalla norma indotta dal<br />
prodotto scalare 〈p, q〉 = ∫ 1<br />
0 p(t)q(t) dt) alla funzione ex ? Qual è quello di grado n?<br />
Area e volume negli spazi <strong>affini</strong><br />
Abbiamo definito la lunghezza e gli angoli a partire da un prodotto scalare definito sui vettori<br />
di E n . Possiamo fare lo stesso con la definizione di volume? Qual è la definizione assiomatica di<br />
volume? Proponiamo al lettore di discutere e riflettere sulla validità e naturalezza dei seguenti<br />
assiomi, per una funzione di area con segno A di un triangolo ABC (o equivalentemente di<br />
un parallelogramma ABCD), in cui a = −→ CA e b = −→ CB:<br />
(A1) A(ca, b) =cA(a, b) =A(a,cb); per ogni c ∈ R.<br />
(A2) A(a, b + c) =A(a, b)+A(a, c); A(a + c, b) =A(a, b)+A(c, b);<br />
(A3) A(a, a) =0;<br />
(disegnare le figure corrispondenti agli assiomi)<br />
Analogamente, una funzione di volume con segno V di un parallelogramma con i tre<br />
spigolo concorrenti a = −→ −−→ −→<br />
DA, b = DB, c = DC probabilmente dovrebbe soddisfare gli assiomi<br />
(V1) V (ca, b, c) =cV (a, b, c) =V (a,cb, c) =V (a, b,cc); per ogni c ∈ R.<br />
(V2) V (a + d, b, c) =V (a, b, c)+V (d, b, c); V (a, b + d, c) =V (a, b, c)+V (b, d, c);<br />
V (a, b, c + d) =V (a, b, c)+V (a, b, d);<br />
(V3) (se due vettori coincidono, il volume è nullo) V (a, a, b) = 0 = V (a, b, b) =<br />
V (a, b, a);<br />
In generale, per uno spazio affine X reale, una funzione di volume con segno (chiamiamola<br />
forma di volume) sarà una funzione ω : −→ X n → R<br />
ω(v 1 , v 2 , . . . , v n ),<br />
v i ∈ −→ X , i =1, . . . , n<br />
che sia multilineare (cioè lineare in ogni sua variabile) e tale che ω(v 1 , v 2 , . . . , v n ) = 0 quando<br />
almeno due dei v i coincidono. Osserviamo che da questa proprietà segue che<br />
ω(v 1 , . . . , v i , . . . , v j , . . . , v n )+ω(v 1 , . . . , v j , . . . , v i , . . . , v n )=0.
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