§ 17 Spazi affini euclidei e isometrie - Matematica e Applicazioni
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Geometria I 158<br />
dove u = π(v) ∈ U e<br />
π(v − π(v)) = π(v − u)<br />
= π(v) − π(u)<br />
= u − u = 0.<br />
Da questo segue che U + ker π = E. La somma è diretta, perché se ci fosse u ∈ U ∩ ker π, si<br />
avrebbe π(u) =0 e anche π(u) =u, da cui u = 0.<br />
(18.4) Definizione. Sia S ⊂ E n un sottospazio affine di uno spazio affine euclideo con<br />
giacitura −→ S ⊂ R n . Sia W il complemento ortogonale di −→ S in R n , cioè l’unico sottospazio<br />
ortogonale a −→ S tale che −→ S ⊕ W = R n . Allora per ogni x ∈ E n si può definire la proiezione su<br />
S parallela al complemento ortogonale W , seguendo la definizione (16.11)<br />
p S,W : E n → S.<br />
Questa proiezione si chiama proiezione ortogonale di E n su S ⊂ E n . Dal momento che il<br />
complemento ortogonale W esiste ed è unico, la proiezione è unicamente determinata da S.<br />
(18.5) Sia r ⊂ E n una retta (sottospazio affine di dimensione 1) di uno spazio affine euclideo<br />
con giacitura −→ S = 〈v〉 ⊂R n e A un punto di r. Allora la proiezione di un punto x ∈ E n sulla<br />
retta r si scrive come<br />
〈x − A, v〉<br />
p S (x) =A + v.<br />
〈v, v〉<br />
Dimostrazione. La proiezione di x su r è un punto Q di r per cui Q − r è ortogonale a r. È<br />
facile vedere che tale punto Q è unico (altrimenti si formerebbe un triangolo con due lati di<br />
90 ◦ ). Dobbiamo trovare un punto Q per cui<br />
〈x − Q, v〉 =0<br />
e quindi, dato che Q = A + tv per un certo t ∈ R, tale che 〈x − (A + tv), v〉 =0, ovvero<br />
〈x − A, v〉−t〈v, v〉.<br />
Ma allora per t =<br />
〈x − A, v〉<br />
〈v, v〉<br />
(v ≠0!) si ottiene il punto cercato<br />
p S (x) =Q = A +<br />
〈x − A, v〉<br />
v<br />
〈v, v〉<br />
come annunciato.<br />
qed<br />
(18.6) Definizione. Se p S è la proiezione ortogonale p S : E n → S ⊂ E n definita sopra, allora<br />
si può definire come in (16.12) l’isometria (i.e. trasformazione ortogonale)<br />
r S : x ↦→ p S (x)+(p S (x) − x),