§ 17 Spazi affini euclidei e isometrie - Matematica e Applicazioni

Geometria I 158
dove u = π(v) ∈ U e
π(v − π(v)) = π(v − u)
= π(v) − π(u)
= u − u = 0.
Da questo segue che U + ker π = E. La somma è diretta, perché se ci fosse u ∈ U ∩ ker π, si
avrebbe π(u) =0 e anche π(u) =u, da cui u = 0.
(18.4) Definizione. Sia S ⊂ E n un sottospazio affine di uno spazio affine euclideo con
giacitura −→ S ⊂ R n . Sia W il complemento ortogonale di −→ S in R n , cioè l’unico sottospazio
ortogonale a −→ S tale che −→ S ⊕ W = R n . Allora per ogni x ∈ E n si può definire la proiezione su
S parallela al complemento ortogonale W , seguendo la definizione (16.11)
p S,W : E n → S.
Questa proiezione si chiama proiezione ortogonale di E n su S ⊂ E n . Dal momento che il
complemento ortogonale W esiste ed è unico, la proiezione è unicamente determinata da S.
(18.5) Sia r ⊂ E n una retta (sottospazio affine di dimensione 1) di uno spazio affine euclideo
con giacitura −→ S = 〈v〉 ⊂R n e A un punto di r. Allora la proiezione di un punto x ∈ E n sulla
retta r si scrive come
〈x − A, v〉
p S (x) =A + v.
〈v, v〉
Dimostrazione. La proiezione di x su r è un punto Q di r per cui Q − r è ortogonale a r. È
facile vedere che tale punto Q è unico (altrimenti si formerebbe un triangolo con due lati di
90 ◦ ). Dobbiamo trovare un punto Q per cui
〈x − Q, v〉 =0
e quindi, dato che Q = A + tv per un certo t ∈ R, tale che 〈x − (A + tv), v〉 =0, ovvero
〈x − A, v〉−t〈v, v〉.
Ma allora per t =
〈x − A, v〉
〈v, v〉
(v ≠0!) si ottiene il punto cercato
p S (x) =Q = A +
〈x − A, v〉
v
〈v, v〉
come annunciato.
qed
(18.6) Definizione. Se p S è la proiezione ortogonale p S : E n → S ⊂ E n definita sopra, allora
si può definire come in (16.12) l’isometria (i.e. trasformazione ortogonale)
r S : x ↦→ p S (x)+(p S (x) − x),