§ 17 Spazi affini euclidei e isometrie - Matematica e Applicazioni

Geometria I 156
§ 18 Angoli e proiezioni ortogonali
(18.1) Definizione. Con il prodotto scalare definito su uno spazio euclideo non solo si possono
misurare le distanze tra punti, e quindi in generale lunghezze, ma anche gli angoli (orientati)
tra vettori, mediante la formula
〈v, w〉
cos θ =
|v||w| .
Questo consente di calcolare l’angolo, per esempio in A, di un triangolo ABC, moltiplicando
(mediante prodotto scalare) i vettori −→ AB e −→ AC.
Occorre notare che l’angolo è definito cosí a meno di segno (cioè non è l’angolo orientato) e
a meno di 2kπ (non c’è differenza tra angolo nullo e angolo giro). Non si tratta della definizione
della geometria elementare di misura di un angolo.
(18.2) Nota. Ricordiamo che in uno spazio metrico X la distanza tra un punto p e un
sottoinsieme S ⊂ X è definita con l’estremo inferiore delle distanze d(p, x), al variare di p in
S. In particolare, se X è uno spazio euclideo, si può definire la distanza di un punto p ∈ X da
una retta, da un piano,. . . , da un sottospazio affine S ⊂ X proprio come l’estremo inferiore
delle distanze tra punti di S e il punto p.
(18.3) Definizione. Due sottospazi U, W di uno spazio vettoriale euclideo E si dicono ortogonali
se per ogni u ∈ U, per ogni v ∈ V i vettori u e v sono ortogonali, cioè il prodotto
scalare 〈u, v〉 è nullo.
Sia U ⊂ E un sottospazio, e e 1 , . . . , e k una sua base ortonormale. La funzione
π : E → U
definita da
gode delle seguenti proprietà:
π(v) =
k∑
〈v, e j 〉e j
j=1
(i) π è un omomorfismo di spazi vettoriali (cioè è lineare).
(ii) v ∈ U =⇒ π(v) =v.
(iii) ker π = {v ∈ E : ∀u ∈ U〈u, v〉 =0}
(iv) ker π è il complemento ortogonale di U: U ⊕ ker π = E.