•GUIDA ECONOMIA 07-08 - Università degli studi di Udine

programmi sede di Udine
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MATEMATICA GENERALE
(CdL EA, EAI)
Prof. Luciano Sigalotti
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire gli strumenti
necessari per seguire gli altri corsi
quantitativi del percorso di studio.
Prerequisiti
Conoscenza delle strutture algebriche dei
numeri naturali, interi, razionali e reali.
Elementi di calcolo letterale. Equazioni e
disequazioni algebriche e irrazionali.
Sistemi lineari 2x2. Nozioni di base di
geometria analitica nel piano.
Programma del corso
- Sintesi contenuti
Funzioni continue e limiti. Calcolo differenziale.
Calcolo integrale. Calcolo con
funzioni a due variabili.
- Programma dettagliato
Insiemi di numeri reali. Maggiorante,
minorante, massimo, minimo, estremo
superiore ed inferiore. Proprietà di estremo
superiore e inferiore. Classi separate
e contigue. Intervalli di R. Intorno di un
punto. Intorni di + ∞, - ∞, ∞. Le nozioni di
punto interno, esterno, di frontiera, di
accumulazione e isolato. Insiemi aperti e
chiusi.
Elementi di calcolo combinatorio. Disposizioni
semplici e con ripetizioni. Permutazioni.
Combinazioni semplici.
Funzioni. Applicazioni. Dominio, condominio,
legge. Applicazioni suriettive,
iniettive, biunivoche. Applicazione inversa.
Grafico. Rappresentazioni geometriche.
Il grafico dell’inversa. Funzione
costante, identica, segno, valore assoluto.
Operazioni tra funzioni reali. Funzioni
limitate. Massimo e minimo relativo e
assoluto, estremo superiore ed inferiore
di una funzione. Funzioni monotone,
pari, dispari, periodiche. Funzioni razionali
intere e fratte, radici n-esime, funzioni
trigonometriche e loro inverse. Funzioni
esponenziale e logaritmo.
Continuità e limiti. La continuità in un
punto. Limite finito in un punto. Legame
tra limite e continuità in un punto. Limiti
destro e sinistro. Discontinuità eliminabili
e prolungamenti per continuità.
Intorni di infinito. Limiti all’infinito e
limiti infiniti. Unicità del limite, permanenza
del segno, confronto. Limiti di
somma, prodotto, reciproca, composta e
di funzioni monotone. Forme indeterminate.
Continuità della somma, del valore
assoluto, dell’opposta, del prodotto, del
quoziente, dell’inversa, della composta.
Continuità delle funzioni elementari.
Teoremi sulle funzioni continue su intervalli:
teorema degli zeri, dei valori intermedi,
di Weierstrass. Infiniti e infinitesimi.
Definizioni, confronto e ordini. Asintoti.
Derivate. Derivabilità in un punto e funzione
derivata. Retta tangente. Derivabilità
e continuità in un punto. Regole di
derivazione di somma, prodotto, reciproca
e quoziente. Derivata della composta e
dell’inversa. Derivate delle funzioni elementari.
Proprietà locali di crescenza,
decrescenza, massimo e minimo e legame
con la derivata. Approssimante lineare
e differenziale. I teoremi di Rolle,
Lagrange e Cauchy. Corollari del teorema
di Lagrange. Studi di funzione. Teorema
sul limite della derivata. Funzioni convesse
e concave su intervalli e condizioni sufficienti.
Teorema di de L’Hopital e sue
applicazioni. Convessità e concavità locali
e punti di flesso. Approssimazione locale
di una funzione con polinomi. Formula
di Taylor-Peano e sue applicazioni. Formula
di Taylor-Lagrange. Valutazioni
approssimate di funzioni.
Integrali. Integrali indefiniti. Regole di
integrazione indefinita per parti e per
sostituzione. Integrale di alcune funzioni
razionali. Nozione di integrale definito.
Proprietà dell’integrale definito. Teorema