BARILE - Analisi Matematica I.pdf

Dichiarazione Preventiva dell’Attività Didattica
Corso di Studio: Ingegneria Civile ed Ambientale
Anno : I
Semestre : I
Insegnamento: Analisi Matematica I CFU : 12
Titolare: Dott.ssa Sara Barile
Ruolo : Professore a contratto Carico Didattico: Contratto
Obiettivi formativi :
Il corso ha l’obiettivo di rendere noto agli studenti di Ingegneria alcuni degli strumenti matematici di
base quali lo studio delle funzioni di una variabile reale, dei limiti, del calcolo differenziale ed integrale per
funzioni di una variabile reale affinchè tali possano essere utili per lo studio delle discipline di Ingegneria .
Prerequisiti :
Teoria degli insiemi : notazioni e nomenclatura. Sottoinsiemi, unione, intersezione, differenza, prodotto
cartesiano di insiemi.
Funzioni (definite ed a valori in insiemi): definizione e nomenclatura. Funzioni iniettive, surgettive.
Corrispondenze biunivoche. Composizione di funzioni. Funzioni invertibili e funzione inversa di una
funzione invertibile.
Elementi di Logica elementare : predicati (o proprietà), proposizioni (o enunciati). Negazione di una
proposizione. Implicazione logica. Postulati, teoremi, definizioni. Ipotesi e tesi di un teorema.
Dimostrazioni (dirette, indirette, per assurdo). Controesempi. Insiemi definiti da proprietà.
Numeri naturali, interi, razionali, reali. Operazioni con i numeri reali, e relative proprietà. Relazione
d’ordine nell’insieme dei numeri reali. Rappresentazione decimale e rappresentazione frazionaria dei
numeri razionali. Approssimazione di numeri reali con numeri razionali. Rappresentazione geometrica dei
numeri reali (retta orientata). Insiemi numerici. Intervalli.
Valore assoluto di un numero reale : definizione e proprietà. Potenze ad esponente intero, razionale,
reale: definizione e proprietà. Logaritmi: definizione e proprietà . Funzioni potenza, esponenziale e
logaritmo.
Progressioni, aritmetiche e geometriche, di numeri reali e loro somma.
Espressioni algebriche numeriche e letterali. Proporzioni. Prodotti notevoli. Polinomi e loro fattorizzazione.
Teorema di Ruffini. Equazioni e disequazioni: definizione e nomenclatura. Equazioni e disequazioni
algebriche, con una incognita: risoluzione di equazioni e disequazioni algebriche di I e II grado; risoluzione
di equazioni e disequazioni algebriche riconducibili ad equazioni di I o II grado.

Sistemi di equazioni e disequazioni: definizione e nomenclatura. Risoluzione di sistemi di equazioni lineari
con l’utilizzo dei metodi di sostituzione, confronto, Cramer, combinazioni lineari. Risoluzione di alcuni
sistemi di equazioni di grado superiore al primo (sistemi di equazioni in cui sia presente una equazione di
secondo grado, sistemi simmetrici) Risoluzione di semplici sistemi di disequazioni (lineari, di equazioni di
secondo grado etc.) . Risoluzione di equazioni e disequazioni in cui sia presente il valore assoluto di
espressioni algebriche; risoluzione di equazioni e disequazioni razionali fratte; risoluzione di equazioni e
disequazioni irrazionali; risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche
Assiomi della geometria euclidea e teoremi fondamentali della geometria euclidea. Mutue posizioni di rette
nel piano e nello spazio. Mutue posizioni di rette e piani nello spazio. Circonferenza, mutue posizioni di
rette e circonferenze nel piano. Sfera, mutue posizioni di sfera con rette e piani.
Misura degli angoli: misura in gradi (sessagesimali), misura in radianti. Angoli orientati . Corrispondenza
biunivoca fra numeri reali ed angoli orientati .
Definizione di seno, coseno, tangente, cotangente di un numero reale . Proprietà ed identità fondamentali
relative a seno, coseno, tangente e cotangente . Valori di seno, coseno, tangente e cotangente quando la
variabile reale corrisponde ad angoli notevoli. Formule di addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione e
formule parametriche. Risoluzione di equazioni e disequazioni trigonometriche.
Geometria analitica nel piano: sistemi di riferimento cartesiani e coordinate cartesiane. Rappresentazione
analitica di rette. Determinazione analitica della distanza tra due punti e di un punto da una retta.
Rappresentazioni analitica di circonferenze. Condizioni analitiche di parallelismo e di perpendicolarità tra
rette. Risoluzione di semplici problemi: determinazione della retta passante per due punti assegnati, della
retta passante per un punto e parallela (oppure perpendicolare) ad una retta assegnata, determinazione
dell’ intersezione tra rette e tra rette e circonferenze, determinazione della circonferenza individuata
mediante condizioni assegnate.
Programma Preventivo :
Nozioni fondamentali di teoria degli insiemi e Numeri reali. Nozioni di uguaglianza, inclusione,
implicazione, equivalenza. Operazioni di unione, intersezione e complemento. Prodotto cartesiano.
Elementi di logica elementare. Relazioni d'ordine, relazione di ordine stretto, relazioni di equivalenza.
Massimo e minimo di una parte di un insieme totalmente ordinato. Estremo inferiore ed estremo superiore
di una parte di un insieme totalmente ordinato. Insiemi totalmente ordinati completi. Insiemi finiti, infiniti e
numerabili. Numeri naturali, interi e razionali. Sommatorie. Fattoriale di n. Principio di induzione completa.
Inadeguatezza dell'insieme dei razionali per misurare le lunghezze. Assiomi dei numeri reali. Assioma di
completezza e continuità dei numeri reali. Proprietà di densità dei numeri razionali ed irrazionali nei reali.
Conseguenze degli assiomi dei numeri reali: proprietà algebriche e di ordinamento. Teorema di esistenza
dell'estremo superiore. Insiemi separati e contigui. L'insieme ampliato dei numeri reali. Nozione di
distanza. Intorni di un punto. Intervalli e loro proprietà. Punti di accumulazione, punti isolati e punti di
frontiera di un insieme. Derivato, interno, frontiera, chiusura di un insieme. Insiemi aperti, chiusi e
compatti.

Numeri complessi. Numeri complessi in forma algebrica. Il campo C. Operazioni tra numeri complessi.
Nozioni di modulo e coniugato di un numero complesso e relative proprietà. Rappresentazione dei numeri
complessi in forma geometrica. Piano di Gauss. Rappresentazione dei numeri complessi in forma
trigonometrica. Prodotto di numeri complessi. Potenza di un numero complesso: Formula di De Moivre.
Radici di un numero complesso. Formula risolutiva delle radici. Interpretazione geometrica. Equazione
complesse di secondo grado. Teorema fondamentale dell'algebra per equazioni di grado n.
Successioni e Serie Numeriche. Successioni numeriche. Successioni monotone e successioni limitate. Limiti
di successioni: successioni convergenti, divergenti, non regolari. Unicità del limite. Limitatezza delle
successioni convergenti. Teoremi di permanenza del segno. Teoremi del confronto. Algebra dei limiti.
Forme di indeterminazione. Limiti di successioni monotone ed il numero e.
Serie numeriche: generalità. Serie convergenti, divergenti, indeterminate. Condizione necessaria per la
convergenza di una serie. Serie geometriche. Serie armonica e armonica generalizzata. Serie a termini di
segno costante e relativi criteri di convergenza (rapporto, radice, condensazione, confronto e confronto
asintotico). Serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibnitz. Serie a termini di segno variabile:
convergenza assoluta.
Funzioni reali di variabile reale. Insieme di definizione, di arrivo, immagine e dominio naturale di una
funzione. Piano cartesiano e rappresentazione del grafico. Le funzioni elementari: funzioni lineari, funzione
valore assoluto, funzione potenza con esponente intero, funzione radice, funzione potenza con esponente
reale, funzione esponenziale e logaritmo, funzioni trigonometriche e loro inverse, funzioni definite a tratti.
Operazioni con le funzioni. Funzioni pari, dispari e periodiche. Funzione ridotta e funzione restrizione.
Funzioni ingettive, surgettive e bigettive. Funzioni composte. Funzioni inverse. Funzioni invertibili. Funzioni
monotone. Composizione di funzioni monotone. Legame tra funzioni monotone e funzioni invertibili.
Funzioni limitate. Massimi, minimi ed estremi locali (forti e non) di una funzione.
Limiti e continuità delle funzioni reali di variabile reale. Nozioni di limite, limite destro e sinistro per una
funzione. Caratterizzazione dei limiti di funzioni per mezzo dei limiti di successioni. Limiti delle funzioni
elementari. Operazioni con i limiti. Asintoti orizzontali, verticali ed obliqui di una funzione. Teorema
sull'unicità del limite. Teorema sulla permanenza del segno. Teoremi di confronto. Teorema sul limite della
restrizione. Teorema sul limite della funzione composta. Limiti delle funzioni monotone. Forme
indeterminate. Cambiamento di variabili. Limiti notevoli. Infiniti, infinitesimi e loro confronto. Simbolo ``o
piccolo''.
Funzioni continue e proprietà. Continuità delle funzioni elementari. Teorema della permanenza del segno
per funzioni continue. Continuità delle funzioni composte. Prolungamento per continuità di una funzione.
Punti di discontinuità e loro classificazione. Proprietà delle funzioni continue in un intervallo. Teorema di
Weierstrass. Teorema degli zeri di Bolzano. Teorema dei valori intermedi. Monotonia e continuità.
Continuità di funzioni inverse di funzioni continue strettamente monotone.
Calcolo differenziale di funzioni reali di variabile reale. Migliore approssimazione lineare di una funzione in
un punto. Definizione di derivata. Interpretazione geometrica della derivata. Retta tangente al grafico.
Funzioni derivabili e relative operazioni. Derivata destra e sinistra. Punti angolosi, di cuspide e a tangente
verticale. Regole di derivazione. Continuità delle funzioni derivabili. Teorema sulla derivazione delle
funzioni composte e delle funzioni inverse. Le derivate delle funzioni elementari. Derivate di ordine
superiore. Estremi locali e derivate. Teorema di Fermat. Punti stazionari. Teorema di Rolle. Teorema di
Lagrange. Teorema di Cauchy. Studio della monotonia per mezzo delle derivate. Condizioni necessarie e

sufficienti per i minimi e massimi relativi. Limite della derivata e derivabilità. Teorema di de l'Hopital ed
applicazioni ai limiti. Convessità e concavità. Caratterizzazione delle funzioni convesse e concave mediante
la monotonia della derivata prima ed il segno della derivata seconda. Punti di flesso. Studio delle proprietà
di una funzione e del suo grafico. Approssimabilità intorno ad un punto di una funzione con polinomi.
Formula di Taylor con il resto di Peano e con il resto di Lagrange. Formula di MacLaurin per alcune funzioni
elementari e alcune applicazioni per la risoluzione dei limiti. Applicazioni del Teorema di Peano: derivate
successive nei punti stazionari.
Integrazione secondo Riemann delle funzioni reali di una variabile reale. Nozione di integrale secondo
Riemann e sua interpretazione geometrica. Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone
in un intervallo chiuso e limitato. Proprietà degli integrali definiti. Teorema della media. Primitive. Funzione
integrale di una funzione continua. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del
calcolo integrale Integrale indefinito. Integrali indefiniti fondamentali. Regole di integrazione per
scomposizione delle funzioni razionali mediante decomposizione in funzioni razionali semplici, per
scomposizione secondo Hermite, per sostituzione e per parti. Cenni sugli integrali impropri. Assoluta
integrabilità.
Testi di Riferimento:
P. Marcellini, C. Sbordone “Analisi Matematica uno”, Liguori Editore.
P. Marcellini, C. Sbordone “Esercitazioni di Matematica , vol.1”, Liguori Editore.
M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa “ Analisi Matematica 1”, Zanichelli.
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw-Hill.
Modalità di svolgimento degli esami : L’esame consiste di una prova scritta divisa in due parti (una parte
costituita da esercizi e l’altra da domande di carattere generale del programma) ed una prova orale (previo
superamento della precedente prova) a cui gli studenti possono rinunciare accettando la valutazione
conseguita nella prova scritta.
Diario degli esami : 4 febbraio 2013 , 18 febbraio 2013, 2 maggio 2013, 1 luglio 2013, 15 luglio 2013, 16
settembre 2013, 18 Novembre 2013.
Luogo degli esami: aule della I Facoltà di Ingegneria da fissare (le date degli esami sopra indicate sono
soggette a cambiamenti non essendo nota la disponibilità delle aule, le eventuali sovrapposizioni con altri
esami e, per l’appello di Novembre 2013, il calendario dell’a.a. 2013-14.
Commissione d’esame:
Presidente : Dott.ssa Sara Barile ;
Componente: Prof.ssa Giovanna Cerami;
Supplenti: Prof. Alberto Capozzi, Dott. Giuseppe Devillanova, Dott. Pietro D’Avenia.
Ricevimento Studenti : Venerdì dalle 12:00 alle 13:15 presso lo Studio n.31, II Piano, Dipartimento di
Matematica dell’Università di Bari .

Course Information
Course : Calculus: a first course ; CFU : 12.
Aim: To provide the basic tools of differential and integral calculus for functions of one variable.
Prerequisites Elementary arithmetic and algebra.
equations and inequalities.
To be able to solve algebraic and transcendental
Program Real numbers . Complex numbers . Real functions. Sequences. Limits. Continuity.
Differential calculus. Integral calculus.