Caratteristiche del vettore ! Deduzione delle formule di Poisson ed ...
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CARATTERISTICHE DEL VETTORE !<br />
<strong>Caratteristiche</strong> <strong>del</strong> <strong>vettore</strong> !<br />
In questa unita, facendo uso <strong>del</strong>le nozioni gia introdotte e dopo aver <strong>di</strong>mostrato le <strong>formule</strong> <strong>di</strong> <strong>Poisson</strong>,<br />
daremo alcune caratteristiche <strong>del</strong> <strong>vettore</strong> velocita angolare che sono <strong>di</strong> particolare importanza nell'ulteriore<br />
sviluppo <strong>del</strong>la Cinematica e Dinamica <strong>del</strong> corpo rigido.<br />
<strong>D<strong>ed</strong>uzione</strong> <strong>del</strong>le <strong>formule</strong> <strong>di</strong> <strong>Poisson</strong> <strong>ed</strong> espressione <strong>di</strong> !<br />
Se ^J i(i=1;2;3) e una terna <strong>di</strong> versori ortonormali solidali al corpo rigido , allora d^J i<br />
e un <strong>vettore</strong> ortogonale<br />
dt<br />
a ^J i , cioe esiste un <strong>vettore</strong> ! (i) tale che:<br />
(1)<br />
d ^J i<br />
dt = !(i) ^ ^J i<br />
(no somma su i!)<br />
In<strong>di</strong>cato con A (i) il tensore antisimmetrico corrispondente all'assiale<br />
! (i)^, la (1) <strong>di</strong>venta:<br />
(2)<br />
d^J i<br />
dt<br />
= A(i)^J i<br />
Se A (i)<br />
hk sono le componenti A(i) , il <strong>vettore</strong> A (i) J i si esprime:<br />
Dalla<br />
(A (i)^J i ) k ^J k =(A (i)<br />
kh ih)^J k = A (i)<br />
ki ^J k<br />
^J i ^J j = ij<br />
si trae:<br />
cioe<br />
d^J i<br />
dt ^J j + ^J i d^J j<br />
dt<br />
=0<br />
A (i)<br />
ik ^J k ^J j + ^J i A (j)<br />
jk ^J k =0<br />
A (i)<br />
ik kj + A (j)<br />
jk ik =0<br />
A (i)<br />
ij<br />
+ A(j) ji<br />
=0<br />
A (i)<br />
ij = A(j) ji<br />
= A (j)<br />
ij :<br />
Pertanto<br />
ovvero:<br />
A (i) = A (j)<br />
A (1) = A (2) = A (3) ! !^;<br />
con cio resta <strong>di</strong>mostrata l'unicita <strong>del</strong> <strong>vettore</strong> ! (i) che compare nelle (1) e, <strong>di</strong> conseguenza, le <strong>formule</strong> <strong>di</strong><br />
<strong>Poisson</strong>.<br />
Se ^J i e una terna <strong>di</strong> versori ortonormali solidali ad un corpo rigido in moto , allora esiste uno <strong>ed</strong> un solo<br />
<strong>vettore</strong> assiale, detto <strong>vettore</strong> velocita angolare !, tale che:<br />
(3)<br />
d^J i<br />
dt<br />
= ! ^ ^J i<br />
Espressione <strong>di</strong> !<br />
L'espressione <strong>di</strong> !, in termini dei versori solidali ^J i (t) e <strong>del</strong>le loro derivate, si ottiene moltiplicando<br />
vettorialmente a sinistra per ^J i la i-ma <strong>del</strong>le (3):<br />
^J i ^ d^J i<br />
dt = ^J i ^ (! ^ ^J i )=(^J i ^J i )! (!^J i )^J i<br />
1
= ! ! i^J i (no somma su i!)<br />
sommando rispetto all'in<strong>di</strong>ce i:<br />
^J i ^ d^J i<br />
dt =3! ! i^J i =3! !=2!<br />
cioe:<br />
(4) ! = 1 ^J i ^ d^J i<br />
2 dt<br />
Invarianza <strong>di</strong> ! <strong>del</strong>la terna solidale<br />
Sebbene l'in<strong>di</strong>pendenza <strong>di</strong> ! dalla terna solidale scelta <strong>di</strong>scenda dal carattere tensoriale <strong>del</strong>le relazioni<br />
considerate, non e inutile mostrare <strong>di</strong>rettamente dalla (4) l'invarianza <strong>di</strong> ! rispetto alla terna solidale.<br />
Sia, infatti, ^J r un'altra terna ortonormale solidale al corpo rigido , essa risulta legata alla terna ^J i dalla<br />
relazione:<br />
^J r = R ^J sr s<br />
con R sr elementi costanti <strong>di</strong> una matrice ortogonale.<br />
Quin<strong>di</strong>, per la (4):<br />
per la costanza <strong>di</strong> R qp ,<br />
! = 1 ^J r<br />
2<br />
pr ^ d^J p<br />
=<br />
dt<br />
= 1 R rs^J s pr ^ d<br />
2 dt (R qp^J q );<br />
= 1 2 R rs^J s pr ^R qp<br />
d^J q<br />
dt<br />
= 1 2 R rsR qp pr ^J s ^ d^J q<br />
dt<br />
=<br />
=<br />
per l'ortogonalita <strong>del</strong>la matrice R sr ,<br />
= 1 2 R rsR qr^J s ^ d^J q<br />
dt ;<br />
= 1 2 sq ^J s ^ d^J q<br />
dt<br />
= 1 ^J s ^ d^J s<br />
2 dt<br />
= !;<br />
Signicato <strong>di</strong> !<br />
Le <strong>formule</strong> <strong>di</strong> <strong>Poisson</strong>, si possono scrivere nella seguente forma matriciale:<br />
(5) _R = AR<br />
dove<br />
<br />
<br />
<br />
J 11 J 21 J 31<br />
R = <br />
J 12 J 22 J 32<br />
J 13 J 23 J 33<br />
e la matrice <strong>del</strong>le componenti <strong>del</strong>la terna f^J i (t)g solidale rispetto alla terna ssa e A la matrice antisimmetrica<br />
associata al <strong>vettore</strong> assiale !(t).<br />
2
La (5) consente <strong>di</strong> ottenere imme<strong>di</strong>atamente la matrice A; infatti, essendo R una matrice ortogonale,<br />
detR 6= 0eR 1 =R T , moltiplicando la (5) per R 1 , otteniamo<br />
(6): A = _ RR 1<br />
Se integriamo la (5), otteniamo, invece,<br />
(7) R = e<br />
R t<br />
t0 A(t)dt R 0 ;<br />
che ci consente <strong>di</strong> determinare la matrice R a partire dalla matrice A(t) e dalla con<strong>di</strong>zione iniziale R(t 0 )=R 0 .<br />
Per cogliere, ora, il signicato <strong>di</strong> !, consideriamo un istante t 0 tale che !(t 0 ) 6= 0 e scegliamo, stante<br />
l'invarianza <strong>di</strong> ! dalla terna solidale, ^J 3 parallelo e concorde con !(t 0 ) e la terna ssa orientata come la<br />
terna solidale quando t = t 0 . Sotto queste ipotesi, R 0 coincide con la matrice identita e l'unica componente<br />
non nulla <strong>di</strong> A(t 0 )eA 12 (t 0 )= ! 3 (t 0 ) e la (7) <strong>di</strong>venta per 0 < (t t 0 )
=<br />
<br />
dVi<br />
dt<br />
<br />
^J i + ! ^ V:<br />
Il primo addendo che compare al secondo membro <strong>del</strong>le (8) si interpreta, ovviamente, come la derivata d V<br />
dt<br />
<strong>del</strong> <strong>vettore</strong> V rispetto allo spazio solidale <strong>del</strong>la terna f^J i g in moto con velocita angolare !; quin<strong>di</strong>:<br />
(9)<br />
dV<br />
dt = d V<br />
+ ! ^ V;<br />
dt<br />
cioe, vista l'arbitrarieta <strong>di</strong>V,<br />
(10)<br />
d<br />
dt = d<br />
dt + ! ^ :<br />
La (9) ovvero la (10), che sostanzialmente non <strong>di</strong>erisce dalle <strong>formule</strong> <strong>di</strong> <strong>Poisson</strong> <strong>ed</strong> anzi ad esse si riduce<br />
quando V e un <strong>vettore</strong> solidale allo spazio in moto, e assai utile nell'ulteriore sviluppo <strong>del</strong>la cinematica.<br />
ESERCIZIO<br />
i) Dimostrare che, se nessun asse <strong>del</strong>la terna solidale (; ; ; ) e parallelo agli assi <strong>del</strong>la terna ssa<br />
(0; x; y; z), allora gli angoli: <strong>di</strong> nutazione 0