Caratteristiche del vettore ! Deduzione delle formule di Poisson ed ...

CARATTERISTICHE DEL VETTORE !
Caratteristiche del vettore !
In questa unita, facendo uso delle nozioni gia introdotte e dopo aver dimostrato le formule di Poisson,
daremo alcune caratteristiche del vettore velocita angolare che sono di particolare importanza nell'ulteriore
sviluppo della Cinematica e Dinamica del corpo rigido.
Deduzione delle formule di Poisson ed espressione di !
Se ^J i(i=1;2;3) e una terna di versori ortonormali solidali al corpo rigido , allora d^J i
e un vettore ortogonale
dt
a ^J i , cioe esiste un vettore ! (i) tale che:
(1)
d ^J i
dt = !(i) ^ ^J i
(no somma su i!)
Indicato con A (i) il tensore antisimmetrico corrispondente all'assiale
! (i)^, la (1) diventa:
(2)
d^J i
dt
= A(i)^J i
Se A (i)
hk sono le componenti A(i) , il vettore A (i) J i si esprime:
Dalla
(A (i)^J i ) k ^J k =(A (i)
kh ih)^J k = A (i)
ki ^J k
^J i ^J j = ij
si trae:
cioe
d^J i
dt ^J j + ^J i d^J j
dt
=0
A (i)
ik ^J k ^J j + ^J i A (j)
jk ^J k =0
A (i)
ik kj + A (j)
jk ik =0
A (i)
ij
+ A(j) ji
=0
A (i)
ij = A(j) ji
= A (j)
ij :
Pertanto
ovvero:
A (i) = A (j)
A (1) = A (2) = A (3) ! !^;
con cio resta dimostrata l'unicita del vettore ! (i) che compare nelle (1) e, di conseguenza, le formule di
Poisson.
Se ^J i e una terna di versori ortonormali solidali ad un corpo rigido in moto , allora esiste uno ed un solo
vettore assiale, detto vettore velocita angolare !, tale che:
(3)
d^J i
dt
= ! ^ ^J i
Espressione di !
L'espressione di !, in termini dei versori solidali ^J i (t) e delle loro derivate, si ottiene moltiplicando
vettorialmente a sinistra per ^J i la i-ma delle (3):
^J i ^ d^J i
dt = ^J i ^ (! ^ ^J i )=(^J i ^J i )! (!^J i )^J i
1

= ! ! i^J i (no somma su i!)
sommando rispetto all'indice i:
^J i ^ d^J i
dt =3! ! i^J i =3! !=2!
cioe:
(4) ! = 1 ^J i ^ d^J i
2 dt
Invarianza di ! della terna solidale
Sebbene l'indipendenza di ! dalla terna solidale scelta discenda dal carattere tensoriale delle relazioni
considerate, non e inutile mostrare direttamente dalla (4) l'invarianza di ! rispetto alla terna solidale.
Sia, infatti, ^J r un'altra terna ortonormale solidale al corpo rigido , essa risulta legata alla terna ^J i dalla
relazione:
^J r = R ^J sr s
con R sr elementi costanti di una matrice ortogonale.
Quindi, per la (4):
per la costanza di R qp ,
! = 1 ^J r
2
pr ^ d^J p
=
dt
= 1 R rs^J s pr ^ d
2 dt (R qp^J q );
= 1 2 R rs^J s pr ^R qp
d^J q
dt
= 1 2 R rsR qp pr ^J s ^ d^J q
dt
=
=
per l'ortogonalita della matrice R sr ,
= 1 2 R rsR qr^J s ^ d^J q
dt ;
= 1 2 sq ^J s ^ d^J q
dt
= 1 ^J s ^ d^J s
2 dt
= !;
Signicato di !
Le formule di Poisson, si possono scrivere nella seguente forma matriciale:
(5) _R = AR
dove
J 11 J 21 J 31
R =
J 12 J 22 J 32
J 13 J 23 J 33
e la matrice delle componenti della terna f^J i (t)g solidale rispetto alla terna ssa e A la matrice antisimmetrica
associata al vettore assiale !(t).
2

La (5) consente di ottenere immediatamente la matrice A; infatti, essendo R una matrice ortogonale,
detR 6= 0eR 1 =R T , moltiplicando la (5) per R 1 , otteniamo
(6): A = _ RR 1
Se integriamo la (5), otteniamo, invece,
(7) R = e
R t
t0 A(t)dt R 0 ;
che ci consente di determinare la matrice R a partire dalla matrice A(t) e dalla condizione iniziale R(t 0 )=R 0 .
Per cogliere, ora, il signicato di !, consideriamo un istante t 0 tale che !(t 0 ) 6= 0 e scegliamo, stante
l'invarianza di ! dalla terna solidale, ^J 3 parallelo e concorde con !(t 0 ) e la terna ssa orientata come la
terna solidale quando t = t 0 . Sotto queste ipotesi, R 0 coincide con la matrice identita e l'unica componente
non nulla di A(t 0 )eA 12 (t 0 )= ! 3 (t 0 ) e la (7) diventa per 0 < (t t 0 )

=
dVi
dt
^J i + ! ^ V:
Il primo addendo che compare al secondo membro delle (8) si interpreta, ovviamente, come la derivata d V
dt
del vettore V rispetto allo spazio solidale della terna f^J i g in moto con velocita angolare !; quindi:
(9)
dV
dt = d V
+ ! ^ V;
dt
cioe, vista l'arbitrarieta diV,
(10)
d
dt = d
dt + ! ^ :
La (9) ovvero la (10), che sostanzialmente non dierisce dalle formule di Poisson ed anzi ad esse si riduce
quando V e un vettore solidale allo spazio in moto, e assai utile nell'ulteriore sviluppo della cinematica.
ESERCIZIO
i) Dimostrare che, se nessun asse della terna solidale (; ; ; ) e parallelo agli assi della terna ssa
(0; x; y; z), allora gli angoli: di nutazione 0