V = U ^V L'operatore U^si chiama assiale individuato da U.

CONCETTI INTRODUTTIVI
Operatori lineari
Si chiama operatore lineare una legge a che assegna ad ogni vettore V un altro vettore, indicato con
aV tale che, quali siano i vettori V; U e lo scalare , risulti:
a(V + U) =aV+aU (additivita)
a(V) =(aV) (omogeneita)
(operatore nullo) L'operatore che trasforma ogni vettore nel vettore nullo e ovviamente lineare; tale
operatore viene indicato con 0. Per tale operatore si ha, quale che sia V:
0V = 0
L'operatore denito dalla (1:1) e detto operatore nullo.
(operatore identita) L'operatore che trasforma ogni vettore V nello stesso vettore V e ovviamente
lineare; tale operatore viene indicato con i. Per l'operatore i si ha dunque:
iV = V
quale che sia V.
L'operatore denito dalla (1:2) e detto operatore identita.
Se e uno scalare, la legge che associa ad ogni vettore V il vettore V e un operatore lineare e viene
indicato con .
L'operatore denito dalla legge precedente viene detto operatore moltiplicazione per lo scalare
o omotetia di rapporto .
L'operatore nullo e l'operatore identita risultano delle particolari omotetie, rispettivamente di rapporto
0 e 1. (di operatore assiale) Fissato il vettore U, l'operatore U^ che associa al generico vettore V il prodotto
vettore
(U^)V = U ^ V
risulta lineare in virtu delle proprieta del prodotto vettore:
U ^ (V + W) =U^V+U^W
U^(V)=(U^V)
L'operatore U^ si chiama assiale individuato da U.
(operatore diade) L'operatore (A; B), individuato dalla coppia ordinata di vettori A e B, cos denito:
(A; B)V =(AV)B
e lineare. Infatti:
(A; B)(V + U) =[A(V+U)]B =[AV+AU]B=
=(A V)B +(AU)B=(A;B)V+(A;B)U
(A;B)(V) =(AV)B=(AV)B=(A;B)V
L'operatore (A; B) e chiamato diade individuata dalla coppia ordinata di vettori A e B.
(operatore degenere e non degenere) Un operatore a si dice degenere se trasforma vettori non complanari
in vettori complanari; si dice non degenere, invece, se trasforma vettori non complanari in vettori non
complanari.
Degli operatori deniti in precedenza solo l'operatore identita e l'omotetia, con 6= 0, sono non degeneri
(vedi g. (1.1)).
(operatori deniti per i vettori di un piano) L'operatore J e denito, ponendo in corrispondenza biunivoca
ogni vettore piano
V =(V 1 ;V 2 )
1

con il numero complesso
nel modo seguente:
V = V 1 + iV 2 ;
JV = i(V 1 + iV 2 )=iV 1 + i 2 V 2 =) ( V 2 ;V 1 )
cioe il vettore JV risulta ruotato di 2
in senso antiorario rispetto a V (vedi g. 1.2).
J prende il nome di operatore manovella.
La moltiplicazione di un numero complesso z per un vettore piano V si pone, per denizione, uguale al
prodotto del numero complesso z per il numero complesso che rappresenta il vettore, cioe si pone:
zV = zV =(x+iy)(V 1 + iV 2 ) :
Essendo la moltiplicazione fra numeri complessi lineare, z risulta un operatore lineare.
Dimostrare che z manda il vettore V nel vettore zV ruotato di un angolo pari all'argomento di z in
senso antiorario e di modulo pari al prodotto dei moduli di z e V. [Suggerimento: scrivere in forma polare i
numeri complessi z e V ].
La denizione di operatore lineare, che abbiamo dato ed illustrato nel caso dello spazio vettoriale tridimensionale
dei vettori dello spazio ordinario, si puo dare anche nel caso di spazi vettoriali di dimensione
arbitraria; eventualmente di dimensione innita.
(derivata) Nello spazio vettoriale innito dimensionale delle funzioni analitiche in un intorno dell'origine,
l'operatore di derivata:
Df(x)=f 0 (x)
e, come subito si nota, lineare.
(integrale) Nello stesso spazio, l'operatore di integrazione indenita
Z
f (x)dx = F (x)
(F 0 (x)=f(x))
e, per le note proprieta dell'integrazione indenita, un operatore lineare.
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