Moti rigidi particolari Moto rigido traslatorio uniforme. Moto rotatorio

MOTI RIGIDI PARTICOLARI
Moti rigidi particolari
Vi sono casi in cui durante il moto rigido di un corpo i vettori caratteristici sono legati da una certa
relazione o assumono particolari valori. L'analisi di questi casi conduce ad una classicazione di particolare
interesse dei moti rigidi che un corpo puo compiere.
Moto rigido traslatorio
Un moto rigido si dice traslatorio nell'intervallo [t 1 ;t 2 ] se, in questo intervallo, risulta costantemente
! = 0.
Dalla denizione discende, per la formula fondamentale:
i) Tutti i punti hanno, nello stesso istante, la stessa velocita
(1) v P = v
ii) La stessa accelerazione
(2) a P = a
iii) Le traiettorie di tutti i punti risultano congruenti, ossia si possono sovrapporre l'una all'altra; infatti,
dalla (1), per integrazione
OP = O+C
con C vettore costante
iv) I versori di una terna solidale non cambiano di direzione durante il moto; infatti, per le formule di
Poisson
d^J i
dt
= ! ^ ^J i ) d^J i
dt = 0 ) ^J i = costante
Se accade, in piu, che la traiettoria di un punto, e quindi di ciascun punto, e rettilinea, il moto si dice
traslatorio rettilineo e se, in questo caso, la velocita e costante, il moto si dice traslatorio rettilineo
uniforme.
In generale, parlare di velocita di un corpo rigido non ha senso, perche la velocita e relativa ad un punto.
Si puo parlare di velocita del corpo rigido soltanto se esso si muove di moto traslatorio, perche soltanto in
questo caso tutti i punti di cui esso e composto hanno la stessa velocita. Una caratteristica cinematica
globale del moto rigido e la velocita angolare.
Le traiettorie dei punti di un corpo rigido che si muove di moto traslatorio possono essere di qualsiasi
tipo. Per esempio in un moto rigido che si muove di moto traslatorio un suo punto puo benissimo descrivere
una circonferenza, anzi tutti i punti di esso descrivono delle circonferenze tutte di raggio uguale. Non si
confonda la velocita angolare di questi moti circolari con la velocita angolare del corpo rigido che vale zero!
ESERCIZIO { Dimostrare che se durante un moto rigido i versori di una terna solidale mantengono
direzione invariata, allora il moto e traslatorio.
Moto rotatorio
Un moto rigido si dice rotatorio nell'intervallo [t 1 ;t 2 ] se, in questo intervallo, risulta la velocita di
nulla, v = 0, ed il vettore velocita angolare ! di direzione costante.
In un moto rotatorio si ha:
i) Tutti i punti della retta a, solidale col corpo, passante per e parallela ad ! hanno velocita nulla; la
retta a, detta asse di rotazione, e quindi ssa rispetto allo spazio ove si riferisce il moto del corpo. Infatti
se P 2 a,
v P = v + ! ^ P = 0;
essendo v = 0 eP parallelo a !.
ii) Tutti i punti del corpo in moto descrivono delle circonferenze con centro sull'asse di rotazione a e con la
stessa velocita angolare !; anzi, detto l'angolo formato da una retta solidale al corpo e da una retta
ssa entrambe ortogonali all'asse di rotazione, si ha:
! = d
dt
1

iii) La velocita e l'accelerazione di un generico punto P valgono, come si deduce dalle (3 0 )e(7 0 )diA0,
v P = ! ^ P
a P = _!^P
! 2 P 0 P
Se, inoltre, il vettore velocita ha modulo costante, il moto viene detto rotatorio uniforme. ESERCIZIO
{ Dimostrare che se in un moto rigido due punti hanno velocita nulla, allora il moto e rotatorio con
asse la retta passante per i due punti.
Moto con asse scorrevole o elicoidale
Un moto rigido si dice con asse scorrevole o elicoidale nell'intervallo [t 1 ;t 2 ] se, in questo intervallo,
risulta la direzione di ! costante e la velocita di;v , parallela ad !.
Per un moto con asse scorrevole, abbiamo:
1) Tutti i punti della retta r passante per e parallela a v hanno velocita v : Infatti, se P 2 r, siha:
v P =v +P^!=v ;
essendo P parallelo ad !. La retta r solidale al corpo, quindi, durante il moto scorre su se stessa con
velocita dei suoi punti pari a v .
La retta r viene detta asse del moto elicoidale.
ii) Detto l'angolo diedro formato da un piano solidale al corpo e da un piano sso entrambi passanti per
l'asse r, siha:
!= d
dt
iii) La velocita e l'accelerazione di un generico punto P valgono (cfr.(3 0 )e(7 0 )diA0):
v P = v + ! ^ P (v k !)
a P = a +_!^P
! 2 P 0 P
iv) Tutti i punti del corpo descrivono traiettorie giacenti su cilindri il cui asse e r. Anzi, se il rapporto v !
e
indipendente dal tempo, le traiettorie sono eliche di passo p =2 v !
levogire o destrogire a secondo che
il segno di tale rapporto e positivo o negativo (perche?). Se, invece, v e ! sono separatamente costanti,
il moto del corpo si dice elicoidale uniforme.
ESERCIZI
a) Dimostrare che se tutti i punti di una retta r soidale al corpo hanno velocita parallela a r, allora il moto
e elicoidale con asse la retta r.
b) Dimostrare che in un moto elicoidale tutti i punti P appartenenti ad una supercie cilindrica solidale
al corpo e asse r hanno velocita di modulo indipendente da P .
Moto polare o con un punto sso
Un moto rigido si dice con un punto sso o polare nell'intervallo [t 1 ;t 2 ] se, in questo intervallo v e
costantemente nullo.
In un moto polare il punto risulta, ovviamente, in quiete durante l'intervallo [t 1 ;t 2 ] ed, inoltre, si ha:
i) Ad ogni istante t 2 [t 1 ;t 2 ] esiste una retta r(t) solidale al corpo i cui punti hanno, in quell'istante, tutti
velocita nulla. Siatta retta, detta asse di istantanea rotazione all'istante t, passa per ed e
parallela ad !(t). Siano P e Q due punti del corpo i cui vettori velocita v P (t) ev Q (t) risultano ne nulli
ne paralleli fra loro; la retta solidale r(t), intersezione dei piani P (t) e Q (t) passanti per e ortogonali
rispettivamente a v P e v Q ,e costituita da punti le cui velocita sono nulle. Infatti, la velocita diun
punto R(t) di essa, ha le componenti nulle, per la proprieta caratteristica dei moti rigidi, rispetto alle
rette non complanari passanti per ed R, P ed R eperQed R (g.4). Che la retta r(t) sia parallela
a !(t), lo si stabilisce applicando la formula fondamentale ai punti ed R(t), si ha, infatti:
!(t) ^ R(t) =0:
ii) La retta solidale r(t), in generale variabile con t 2 [t 1 ;t 2 ], si appoggia costantemente ad , solidalmente
al corpo resta quindi individuata una supercie conica G() di vertice e generatrici le r(t); 8t 2 [t 1 ;t 2 ].
2

Analogamente la retta (t) sovrapposta alla r(t), ma pensata costituta da punti dello spazio sso, genera
pure essa, nello spazio sso, una supercie conica () di vertice e generatrici (t); 8t 2 [t 1 ;t 2 ]. I
due coni, che ad ogni istante t 2 [t 1 ;t 2 ] hanno la stessa generatrice, sono detti coni di Poinsot e, piu
precisamente, G() cono mobile o solidale, mentre () cono sso.
iii) La velocita e l'accelerazione di un punto generico P sono:
v P = !(t) ^ P
a P = _!(t)^P ! 2 P 0 P:
Si osservi che, a dierenza del caso in cui il moto e rotatorio, la direzione di !(t) non e in generale
costante.
Moto rigido piano
Un moto rigido si dice piano nell'intervallo [t 1 ;t 2 ] se in questo intervallo, la direzione di !(t) e costante
e la velocita v (t) di risulta per tutto l'intervallo ortogonale ad !(t). Per i moti rigidi piani le seguenti
proprieta, sono valide:
i) In un moto rigido piano il punto si muove di moto piano con traiettoria contenuta nel piano sso F
passante per ed ortogonale a !(t).
ii) Ogni punto P del piano solidale S ortogonale ad !(t) e passante per ha velocita ortogonale ad !(t).
Infatti, per la formula fondamentale
v P = v (t)+!(t)^P;
La velocita diPe la somma di due vettori, v (t) e!(t)^P, ortogonali a !(t).
iii) Tutti i punti di una retta solidale ortogonale a S e quindi parallela ad !(t) hanno la stessa velocita.
Infatti, se R ed S sono punti di questa retta, si ha
| {z }
0
v R = v S + !(t) ^ SR
= v S :
Dalle i) eii) segue che tutti i punti del piano S sono dotati di moto piano con traiettorie giacenti su
F , dalla iii) segue che il moto rigido e completamente descritto dal moto del piano S e F . Tutto
cio giustica il nome di moto piano che si da a siatti moti rigidi. Di notevole interesse e il seguente
teorema. In un moto rigido piano, ad ogni istante t 2 [t 1 ;t 2 ] per cui !(t) 6= 0, esistono due punti
I S (t) eC S (t)di S dotati rispettivamente di velocita ed accelerazione nulla. Il punto I S (t) e detto
centro di istantanea rotazione all'istante t, mentre C S (t) viene detto centro delle accelerazioni
all'istante t.
Dalla formula fondamentale
v = v I + ! ^ I;
ponendo v I = 0, siha:
I S (t)= !(t)^v (t)
:
! 2 (t)
Dalla formula dell'accelerazione relativa ai punti e C S (t), abbiamo:
a = a C +_!(t)^C
! 2 (t)C;
la quale ponendovi a C = 0 e scrivendola sotto forma matriciale, diventa:
fa g = f _!(t)^gfCg f! 2 (t)igfCg =
= f _!(t) ^ ! 2 (t)igfCg;
che fornisce, a sua volta, il punto C S (t):
fC S (t)g = f! 2 (t)i
_!(t)^g 1 fa g
3

ovvero in forma vettoriale
1
=
! 4 (t)+ _! 2 (t) f_!(t)^+!2 (t)igfa g;
1
C S
(t) =
_!(t)^a +! 2 (t)a
! 4 (t)+ _! 2 (t)
In un moto rigido piano, l'equazione fondamentale della cinematica, scritta per il punto I S
generico P ,e, relativamente all'istante t:
ed il punto
v P (t) =!(t)^I S (t)P:
Mentre, le accelerazioni dei punti C S e P , all'istante t, sono legate da:
a P (t) = _!(t)^C S (t)P
! 2 (t)C S (t)P:
La distribuzione della velocita e dell'accelerazione in un moto rigido piano all'istante t, e quella che compete
al moto rotatorio di velocita angolare !(t) il cui asse passa per I S (t) eperC S (t) rispettivamente.
In un moto rigido piano l'insieme g(I S )=fI S (t)g t2[t1;t 2] costituisce una curva del piano solidale S ,
perche, in generale i punti I S (t) sono distinti.
Tale curva viene detta polare mobile o rulletta.
Analogamente, l'insieme (I F )=fI F (t)g t2[t1;t 2] e una curva del piano sso che ha all'istante t il punto
I F (t) sovrapposto al punto I S (t), la curva (I F ) viene detta polare ssa o base.
Le due curve, poi, prendono il nome di curve polari.
ESERCIZIO { Dimostrare, teorema di Chasles, che in un moto rigido piano, se v P e v Q sono le velocita
non parallele di due punti P e Q, allora il centro di istantanea rotazione e nell'intersezione delle perpendicolari
alle velocita condotte per P e Q.
Cosa accade se v P e v Q sono parallele?
Teorema di Mozzi
Nel caso generale in cui i vettori caratteristici v (t) e!(t) sono aatto arbitrari, vale il seguente teorema.
(di Mozzi).
Durante un moto rigido generico, in un qualunque istante t, la formula fondamentale
(1) v P (t) =v (t)+!(t)^P
puo scriversi come:
(2) v P (t) =v(t)+!(t)^QP;
dove v(t) e indipendente da P e parallelo ad !(t) eQe, pure esso, indipendente da P .
Scomposto v secondo la direzione parallela e la giacitura ortogonale ad !(t), la (1) diventa, tenuto
conto che la componente parallela a !(t) della velocita e indipendente da P , come si riconosce moltiplicando
scalarmente per il versore di !(t) la (1),
D'altra parte, l'equazione vettoriale
v P = v(t)+v ? (t)+!(t)^P
(3) v ?
(t) =!^Q
ammette una sola soluzione
Q = v? (t)^!(t)
! 2 (t)
ortogonale a v ? (t) (perche?), quindi: v P = v(t)+!(t)^Q+!(t)^P
4

= v(t)+ !(t) ^ (Q+ P )
= v(t)+ !(t) ^ QP
cioe il teorema di Mozzi (2).
La retta m(t) solidale al corpo e parallela ad !(t) risulta indipendente da P e viene detta asse di Mozzi
all'istante t.
La (2) mostra che in un generico moto rigido la velocita all'istante t di un qualunque punto P e quella
che compete al moto elicoidale di vettori caratteristici v(t) e!(t), cioe nell'intervallo [t; t + dt] il moto rigido
puo pensarsi come un moto elicoidale detto moto elicoidale tangente.
Pertanto il teorema di Mozzi ci consente di pensare un moto rigido generico nell'intervallo [t 1 ;t 2 ] come
la successione dei suoi moti elicoidali tangenti, eventualmente degeneri (v(t) o!(t) uguale a zero), ad ogni
istante t 2 [t 1 ;t 2 ]
Moto rototraslatorio
Durante il moto generico di un corpo rigido, l'asse solidale m(t), asse di Mozzi, varia al variare di
t 2 [t 1 ;t 2 ] cambiando la sua direzione rispetto alla terna ssa; se accade che la direzione di m(t) resta invariata
nell'intervallo in cui accade il moto, il moto rigido e detto rototraslatorio; in un moto rototraslatorio,
pertanto la direzione di ! e indipendente dal tempo. L'importanza dei moti rototraslatori e dovuta al fatto
che tutti i moti, eccetto il moto con un punto sso, considerati in precedenza sono particolari tipi di moto
rototraslatorio (perche?)
ESERCIZI
1) Dimostrare che la soluzione generale della (3) e
Q = v? (t)^!(t)
! 2 (t)
+!(t)
con un numero reale arbitrario.
2) Dimostrare che l'asse di Mozzi m(t) e indipendente da P .
3) Dimostrare che tutti i punti di m(t) hanno velocita pari a v(t).
4) Mettere in relazione la costruzione dell'asse di Mozzi con la costruzione dell'asse centrale.
5) Dimostrare, facendo uso delle formule di Frenet, che la velocita angolare del triedro mobile di una curva
di ascissa curvilinea s e
! =_s
6) Dal sistema biella-manovella rappresentato in g.7, nell'ipotesi che la manovella ruoti con velocita
angolare ! m costante ed il rapporto fra la lunghezza della manovella e della biella sia = m b , dimostrare
che la velocita angolare della biella vale:
! b =
q
^b
^t
!
cos ! m t
! m
1 2 sin 2 ! m t
e determinare gracamente il centro di istantanea rotazione del moto piano della biella AB.
:
5