Moti rigidi particolari Moto rigido traslatorio uniforme. Moto rotatorio
Moti rigidi particolari Moto rigido traslatorio uniforme. Moto rotatorio
Moti rigidi particolari Moto rigido traslatorio uniforme. Moto rotatorio
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
MOTI RIGIDI PARTICOLARI<br />
<strong>Moti</strong> <strong>rigidi</strong> <strong>particolari</strong><br />
Vi sono casi in cui durante il moto <strong>rigido</strong> di un corpo i vettori caratteristici sono legati da una certa<br />
relazione o assumono <strong>particolari</strong> valori. L'analisi di questi casi conduce ad una classicazione di particolare<br />
interesse dei moti <strong>rigidi</strong> che un corpo puo compiere.<br />
<strong>Moto</strong> <strong>rigido</strong> <strong>traslatorio</strong><br />
Un moto <strong>rigido</strong> si dice <strong>traslatorio</strong> nell'intervallo [t 1 ;t 2 ] se, in questo intervallo, risulta costantemente<br />
! = 0.<br />
Dalla denizione discende, per la formula fondamentale:<br />
i) Tutti i punti hanno, nello stesso istante, la stessa velocita<br />
(1) v P = v <br />
ii) La stessa accelerazione<br />
(2) a P = a <br />
iii) Le traiettorie di tutti i punti risultano congruenti, ossia si possono sovrapporre l'una all'altra; infatti,<br />
dalla (1), per integrazione<br />
OP = O+C<br />
con C vettore costante<br />
iv) I versori di una terna solidale non cambiano di direzione durante il moto; infatti, per le formule di<br />
Poisson<br />
d^J i<br />
dt<br />
= ! ^ ^J i ) d^J i<br />
dt = 0 ) ^J i = costante<br />
Se accade, in piu, che la traiettoria di un punto, e quindi di ciascun punto, e rettilinea, il moto si dice<br />
<strong>traslatorio</strong> rettilineo e se, in questo caso, la velocita e costante, il moto si dice <strong>traslatorio</strong> rettilineo<br />
<strong>uniforme</strong>.<br />
In generale, parlare di velocita di un corpo <strong>rigido</strong> non ha senso, perche la velocita e relativa ad un punto.<br />
Si puo parlare di velocita del corpo <strong>rigido</strong> soltanto se esso si muove di moto <strong>traslatorio</strong>, perche soltanto in<br />
questo caso tutti i punti di cui esso e composto hanno la stessa velocita. Una caratteristica cinematica<br />
globale del moto <strong>rigido</strong> e la velocita angolare.<br />
Le traiettorie dei punti di un corpo <strong>rigido</strong> che si muove di moto <strong>traslatorio</strong> possono essere di qualsiasi<br />
tipo. Per esempio in un moto <strong>rigido</strong> che si muove di moto <strong>traslatorio</strong> un suo punto puo benissimo descrivere<br />
una circonferenza, anzi tutti i punti di esso descrivono delle circonferenze tutte di raggio uguale. Non si<br />
confonda la velocita angolare di questi moti circolari con la velocita angolare del corpo <strong>rigido</strong> che vale zero!<br />
ESERCIZIO { Dimostrare che se durante un moto <strong>rigido</strong> i versori di una terna solidale mantengono<br />
direzione invariata, allora il moto e <strong>traslatorio</strong>.<br />
<strong>Moto</strong> <strong>rotatorio</strong><br />
Un moto <strong>rigido</strong> si dice <strong>rotatorio</strong> nell'intervallo [t 1 ;t 2 ] se, in questo intervallo, risulta la velocita di<br />
nulla, v = 0, ed il vettore velocita angolare ! di direzione costante.<br />
In un moto <strong>rotatorio</strong> si ha:<br />
i) Tutti i punti della retta a, solidale col corpo, passante per e parallela ad ! hanno velocita nulla; la<br />
retta a, detta asse di rotazione, e quindi ssa rispetto allo spazio ove si riferisce il moto del corpo. Infatti<br />
se P 2 a,<br />
v P = v + ! ^ P = 0;<br />
essendo v = 0 eP parallelo a !.<br />
ii) Tutti i punti del corpo in moto descrivono delle circonferenze con centro sull'asse di rotazione a e con la<br />
stessa velocita angolare !; anzi, detto l'angolo formato da una retta solidale al corpo e da una retta<br />
ssa entrambe ortogonali all'asse di rotazione, si ha:<br />
! = d<br />
dt<br />
1
iii) La velocita e l'accelerazione di un generico punto P valgono, come si deduce dalle (3 0 )e(7 0 )diA0,<br />
v P = ! ^ P<br />
a P = _!^P<br />
! 2 P 0 P<br />
Se, inoltre, il vettore velocita ha modulo costante, il moto viene detto <strong>rotatorio</strong> <strong>uniforme</strong>. ESERCIZIO<br />
{ Dimostrare che se in un moto <strong>rigido</strong> due punti hanno velocita nulla, allora il moto e <strong>rotatorio</strong> con<br />
asse la retta passante per i due punti.<br />
<strong>Moto</strong> con asse scorrevole o elicoidale<br />
Un moto <strong>rigido</strong> si dice con asse scorrevole o elicoidale nell'intervallo [t 1 ;t 2 ] se, in questo intervallo,<br />
risulta la direzione di ! costante e la velocita di;v , parallela ad !.<br />
Per un moto con asse scorrevole, abbiamo:<br />
1) Tutti i punti della retta r passante per e parallela a v hanno velocita v : Infatti, se P 2 r, siha:<br />
v P =v +P^!=v ;<br />
essendo P parallelo ad !. La retta r solidale al corpo, quindi, durante il moto scorre su se stessa con<br />
velocita dei suoi punti pari a v .<br />
La retta r viene detta asse del moto elicoidale.<br />
ii) Detto l'angolo diedro formato da un piano solidale al corpo e da un piano sso entrambi passanti per<br />
l'asse r, siha:<br />
!= d<br />
dt<br />
iii) La velocita e l'accelerazione di un generico punto P valgono (cfr.(3 0 )e(7 0 )diA0):<br />
v P = v + ! ^ P (v k !)<br />
a P = a +_!^P<br />
! 2 P 0 P<br />
iv) Tutti i punti del corpo descrivono traiettorie giacenti su cilindri il cui asse e r. Anzi, se il rapporto v !<br />
e<br />
indipendente dal tempo, le traiettorie sono eliche di passo p =2 v !<br />
levogire o destrogire a secondo che<br />
il segno di tale rapporto e positivo o negativo (perche?). Se, invece, v e ! sono separatamente costanti,<br />
il moto del corpo si dice elicoidale <strong>uniforme</strong>.<br />
ESERCIZI<br />
a) Dimostrare che se tutti i punti di una retta r soidale al corpo hanno velocita parallela a r, allora il moto<br />
e elicoidale con asse la retta r.<br />
b) Dimostrare che in un moto elicoidale tutti i punti P appartenenti ad una supercie cilindrica solidale<br />
al corpo e asse r hanno velocita di modulo indipendente da P .<br />
<strong>Moto</strong> polare o con un punto sso<br />
Un moto <strong>rigido</strong> si dice con un punto sso o polare nell'intervallo [t 1 ;t 2 ] se, in questo intervallo v e<br />
costantemente nullo.<br />
In un moto polare il punto risulta, ovviamente, in quiete durante l'intervallo [t 1 ;t 2 ] ed, inoltre, si ha:<br />
i) Ad ogni istante t 2 [t 1 ;t 2 ] esiste una retta r(t) solidale al corpo i cui punti hanno, in quell'istante, tutti<br />
velocita nulla. Siatta retta, detta asse di istantanea rotazione all'istante t, passa per ed e<br />
parallela ad !(t). Siano P e Q due punti del corpo i cui vettori velocita v P (t) ev Q (t) risultano ne nulli<br />
ne paralleli fra loro; la retta solidale r(t), intersezione dei piani P (t) e Q (t) passanti per e ortogonali<br />
rispettivamente a v P e v Q ,e costituita da punti le cui velocita sono nulle. Infatti, la velocita diun<br />
punto R(t) di essa, ha le componenti nulle, per la proprieta caratteristica dei moti <strong>rigidi</strong>, rispetto alle<br />
rette non complanari passanti per ed R, P ed R eperQed R (g.4). Che la retta r(t) sia parallela<br />
a !(t), lo si stabilisce applicando la formula fondamentale ai punti ed R(t), si ha, infatti:<br />
!(t) ^ R(t) =0:<br />
ii) La retta solidale r(t), in generale variabile con t 2 [t 1 ;t 2 ], si appoggia costantemente ad , solidalmente<br />
al corpo resta quindi individuata una supercie conica G() di vertice e generatrici le r(t); 8t 2 [t 1 ;t 2 ].<br />
2
Analogamente la retta (t) sovrapposta alla r(t), ma pensata costituta da punti dello spazio sso, genera<br />
pure essa, nello spazio sso, una supercie conica () di vertice e generatrici (t); 8t 2 [t 1 ;t 2 ]. I<br />
due coni, che ad ogni istante t 2 [t 1 ;t 2 ] hanno la stessa generatrice, sono detti coni di Poinsot e, piu<br />
precisamente, G() cono mobile o solidale, mentre () cono sso.<br />
iii) La velocita e l'accelerazione di un punto generico P sono:<br />
v P = !(t) ^ P<br />
a P = _!(t)^P ! 2 P 0 P:<br />
Si osservi che, a dierenza del caso in cui il moto e <strong>rotatorio</strong>, la direzione di !(t) non e in generale<br />
costante.<br />
<strong>Moto</strong> <strong>rigido</strong> piano<br />
Un moto <strong>rigido</strong> si dice piano nell'intervallo [t 1 ;t 2 ] se in questo intervallo, la direzione di !(t) e costante<br />
e la velocita v (t) di risulta per tutto l'intervallo ortogonale ad !(t). Per i moti <strong>rigidi</strong> piani le seguenti<br />
proprieta, sono valide:<br />
i) In un moto <strong>rigido</strong> piano il punto si muove di moto piano con traiettoria contenuta nel piano sso F<br />
passante per ed ortogonale a !(t).<br />
ii) Ogni punto P del piano solidale S ortogonale ad !(t) e passante per ha velocita ortogonale ad !(t).<br />
Infatti, per la formula fondamentale<br />
v P = v (t)+!(t)^P;<br />
La velocita diPe la somma di due vettori, v (t) e!(t)^P, ortogonali a !(t).<br />
iii) Tutti i punti di una retta solidale ortogonale a S e quindi parallela ad !(t) hanno la stessa velocita.<br />
Infatti, se R ed S sono punti di questa retta, si ha<br />
| {z }<br />
0<br />
v R = v S + !(t) ^ SR<br />
= v S :<br />
Dalle i) eii) segue che tutti i punti del piano S sono dotati di moto piano con traiettorie giacenti su<br />
F , dalla iii) segue che il moto <strong>rigido</strong> e completamente descritto dal moto del piano S e F . Tutto<br />
cio giustica il nome di moto piano che si da a siatti moti <strong>rigidi</strong>. Di notevole interesse e il seguente<br />
teorema. In un moto <strong>rigido</strong> piano, ad ogni istante t 2 [t 1 ;t 2 ] per cui !(t) 6= 0, esistono due punti<br />
I S (t) eC S (t)di S dotati rispettivamente di velocita ed accelerazione nulla. Il punto I S (t) e detto<br />
centro di istantanea rotazione all'istante t, mentre C S (t) viene detto centro delle accelerazioni<br />
all'istante t.<br />
Dalla formula fondamentale<br />
v = v I + ! ^ I;<br />
ponendo v I = 0, siha:<br />
I S (t)= !(t)^v (t)<br />
:<br />
! 2 (t)<br />
Dalla formula dell'accelerazione relativa ai punti e C S (t), abbiamo:<br />
a = a C +_!(t)^C<br />
! 2 (t)C;<br />
la quale ponendovi a C = 0 e scrivendola sotto forma matriciale, diventa:<br />
fa g = f _!(t)^gfCg f! 2 (t)igfCg =<br />
= f _!(t) ^ ! 2 (t)igfCg;<br />
che fornisce, a sua volta, il punto C S (t):<br />
fC S (t)g = f! 2 (t)i<br />
_!(t)^g 1 fa g<br />
3
ovvero in forma vettoriale<br />
1<br />
=<br />
! 4 (t)+ _! 2 (t) f_!(t)^+!2 (t)igfa g;<br />
1<br />
C S<br />
<br />
(t) =<br />
_!(t)^a +! 2 (t)a<br />
! 4 (t)+ _! 2 (t)<br />
<br />
In un moto <strong>rigido</strong> piano, l'equazione fondamentale della cinematica, scritta per il punto I S<br />
generico P ,e, relativamente all'istante t:<br />
ed il punto<br />
v P (t) =!(t)^I S (t)P:<br />
Mentre, le accelerazioni dei punti C S e P , all'istante t, sono legate da:<br />
a P (t) = _!(t)^C S (t)P<br />
! 2 (t)C S (t)P:<br />
La distribuzione della velocita e dell'accelerazione in un moto <strong>rigido</strong> piano all'istante t, e quella che compete<br />
al moto <strong>rotatorio</strong> di velocita angolare !(t) il cui asse passa per I S (t) eperC S (t) rispettivamente.<br />
In un moto <strong>rigido</strong> piano l'insieme g(I S )=fI S (t)g t2[t1;t 2] costituisce una curva del piano solidale S ,<br />
perche, in generale i punti I S (t) sono distinti.<br />
Tale curva viene detta polare mobile o rulletta.<br />
Analogamente, l'insieme (I F )=fI F (t)g t2[t1;t 2] e una curva del piano sso che ha all'istante t il punto<br />
I F (t) sovrapposto al punto I S (t), la curva (I F ) viene detta polare ssa o base.<br />
Le due curve, poi, prendono il nome di curve polari.<br />
ESERCIZIO { Dimostrare, teorema di Chasles, che in un moto <strong>rigido</strong> piano, se v P e v Q sono le velocita<br />
non parallele di due punti P e Q, allora il centro di istantanea rotazione e nell'intersezione delle perpendicolari<br />
alle velocita condotte per P e Q.<br />
Cosa accade se v P e v Q sono parallele?<br />
Teorema di Mozzi<br />
Nel caso generale in cui i vettori caratteristici v (t) e!(t) sono aatto arbitrari, vale il seguente teorema.<br />
(di Mozzi).<br />
Durante un moto <strong>rigido</strong> generico, in un qualunque istante t, la formula fondamentale<br />
(1) v P (t) =v (t)+!(t)^P<br />
puo scriversi come:<br />
(2) v P (t) =v(t)+!(t)^QP;<br />
dove v(t) e indipendente da P e parallelo ad !(t) eQe, pure esso, indipendente da P .<br />
Scomposto v secondo la direzione parallela e la giacitura ortogonale ad !(t), la (1) diventa, tenuto<br />
conto che la componente parallela a !(t) della velocita e indipendente da P , come si riconosce moltiplicando<br />
scalarmente per il versore di !(t) la (1),<br />
D'altra parte, l'equazione vettoriale<br />
v P = v(t)+v ? (t)+!(t)^P<br />
(3) v ? <br />
(t) =!^Q<br />
ammette una sola soluzione<br />
Q = v? (t)^!(t)<br />
! 2 (t)<br />
ortogonale a v ? (t) (perche?), quindi: v P = v(t)+!(t)^Q+!(t)^P<br />
4
= v(t)+ !(t) ^ (Q+ P )<br />
= v(t)+ !(t) ^ QP<br />
cioe il teorema di Mozzi (2).<br />
La retta m(t) solidale al corpo e parallela ad !(t) risulta indipendente da P e viene detta asse di Mozzi<br />
all'istante t.<br />
La (2) mostra che in un generico moto <strong>rigido</strong> la velocita all'istante t di un qualunque punto P e quella<br />
che compete al moto elicoidale di vettori caratteristici v(t) e!(t), cioe nell'intervallo [t; t + dt] il moto <strong>rigido</strong><br />
puo pensarsi come un moto elicoidale detto moto elicoidale tangente.<br />
Pertanto il teorema di Mozzi ci consente di pensare un moto <strong>rigido</strong> generico nell'intervallo [t 1 ;t 2 ] come<br />
la successione dei suoi moti elicoidali tangenti, eventualmente degeneri (v(t) o!(t) uguale a zero), ad ogni<br />
istante t 2 [t 1 ;t 2 ]<br />
<strong>Moto</strong> roto<strong>traslatorio</strong><br />
Durante il moto generico di un corpo <strong>rigido</strong>, l'asse solidale m(t), asse di Mozzi, varia al variare di<br />
t 2 [t 1 ;t 2 ] cambiando la sua direzione rispetto alla terna ssa; se accade che la direzione di m(t) resta invariata<br />
nell'intervallo in cui accade il moto, il moto <strong>rigido</strong> e detto roto<strong>traslatorio</strong>; in un moto roto<strong>traslatorio</strong>,<br />
pertanto la direzione di ! e indipendente dal tempo. L'importanza dei moti rototraslatori e dovuta al fatto<br />
che tutti i moti, eccetto il moto con un punto sso, considerati in precedenza sono <strong>particolari</strong> tipi di moto<br />
roto<strong>traslatorio</strong> (perche?)<br />
ESERCIZI<br />
1) Dimostrare che la soluzione generale della (3) e<br />
Q = v? (t)^!(t)<br />
! 2 (t)<br />
+!(t)<br />
con un numero reale arbitrario.<br />
2) Dimostrare che l'asse di Mozzi m(t) e indipendente da P .<br />
3) Dimostrare che tutti i punti di m(t) hanno velocita pari a v(t).<br />
4) Mettere in relazione la costruzione dell'asse di Mozzi con la costruzione dell'asse centrale.<br />
5) Dimostrare, facendo uso delle formule di Frenet, che la velocita angolare del triedro mobile di una curva<br />
di ascissa curvilinea s e<br />
! =_s<br />
6) Dal sistema biella-manovella rappresentato in g.7, nell'ipotesi che la manovella ruoti con velocita<br />
angolare ! m costante ed il rapporto fra la lunghezza della manovella e della biella sia = m b , dimostrare<br />
che la velocita angolare della biella vale:<br />
! b = <br />
q<br />
^b<br />
<br />
^t<br />
<br />
!<br />
cos ! m t<br />
! m<br />
1 2 sin 2 ! m t<br />
e determinare gracamente il centro di istantanea rotazione del moto piano della biella AB.<br />
:<br />
5