Successioni di Funzioni e Serie di Potenze - Scienze Matematiche ...

Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 1
Successioni di Funzioni e Serie di Potenze
1 Successioni di Funzioni
Consideriamo una successione numerica il cui valore dipende da una variabile che denotiamo
con x: 1 f 1 (x),f 2 (x), .., f n (x), ... più sinteticamente: {f n (x)}.
Questa è detta una successione di funzioni, ed è denotata con {f n }. Si noti che:
per n fissato f n (x) è una funzione di x,
per x fissato {f n (x)} è una successione numerica.
Al pari delle successioni numeriche, anche le successioni di funzioni possono assumere non
solo valori reali ma anche complessi o vettoriali.
Sia A un sottoinsieme di R, {f n } una successione di funzioni A → C, ef : A → C. Si
definiscono due tipi di convergenza di funzioni:
f n → f puntualmente in A
def
⇔ f n (x) → f(x) ∀x ∈ A; (1.1)
f n → f uniformemente in A
def
⇔
sup |f n (x) − f(x)| →0. (1.2)
x∈A
Nella (1.1) si noti la differenza tra f n → f (convergenza di funzioni) e f n (x) → f(x) (convergenza
di numeri).
Queste convergenze possono essere lette interpretando n come una variabile temporale. Fissato
una qualsiasi massimo errore ammissibile ε, la convergenza puntuale di f n a f significa
che, per ogni x, |f n (x) − f(x)| ≤ε pur di prendere n abbastanza grande. “Quanto grande” può
dipendere da x; se poi per tutti gli x si può prendere lo stesso n, allora la convergenza è uniforme.
Con la convergenza puntuale, si guarda al comportamento individuale della successione
numerica {f n (x)} per ciascun x. Con la convergenza uniforme si considera il comportamento
globale dell’insieme di queste successioni numeriche.
Proposizione 1.1 Sia {f n } una successione di funzioni A → C, ef : A → C. Allora
f n → f uniformemente in A ⇒ f n → f puntualmente in A (1.3)
Si noti che i due limiti coincidono, qualora vi sia convergenza uniforme.
Dimostrazione. Poiché |f n (y) − f(y)| ≤sup x∈A |f n (x) − f(x)| per ogni y ∈ A,
sup |f n (x) − f(x)| →0 ⇒ |f n (y) − f(y)| →0 ∀y ∈ A. ⊔⊓
x∈A
L’implicazione opposta della (1.3) non sussiste. 2
1 Anche se x potrebbe variare in un insieme qualsiasi, qui pensiamo ad x reale, per fissare le idee.
2 È importante cogliere il senso di affermazioni del tipo “A non implica B” (in formula: A ⇏ B) per una
coppia di affermazioni A, B. Questo significa che anche se A è vera B può essere falsa.

2 Metodi Matematici per TLC – a.a. 2004-05 – A. Visintin
Controesempi. 3 Si ponga
⎧
⎨ n se 0

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Teorema 1.3 (Passaggio al Limite nella Derivata) Siano dati una successione {f n } di funzioni
di C 1 ([a, b]), g :[a, b] → C, x 0 ∈ [a, b], ξ ∈ C tali che 4
Allora, posto f(x) :=ξ +
f ′ n → g uniformemente in [a, b], f n (x 0 ) → ξ.
∫ x
x 0
g(t)dt per ogni x ∈ [a, b], siha
f n → f uniformemente in [a, b], f ∈ C 1 ([a, b]), f ′ = g in [a, b].
∫ x
Dimostrazione. Poiché f n (x) =f n (x 0 )+ f n(t)dt ′ per ogni x ∈ [a, b], f n → f uniformemente
x 0
in [a, b] per il teorema precedente. La funzione g è continua in quanto limite uniforme di funzioni
continue. Le restanti proprietà quindi seguono dalla definizione di f e dal teorema fondamentale
del calcolo integrale.
⊔⊓
Tuttavia, sotto la sola ipotesi che f n → f puntualmente in [a, b],
f elef n sono derivabili in x 0 ⇏ f ′ n(x 0 ) → f ′ (x 0 ). (1.8)
Controesempi. Sia f(x) :=0ef n (x) :=n −1 arctan(nx) per ogni x ∈ R ed ogni n ∈ N. Allora
f n → f uniformemente in R, maf n(0)=1↛ ′ f ′ (0)=0.
Ecco un altro controesempio. Sia g n (x) :=n −1 sin(nx) per ogni x ∈ R ed ogni n ∈ N.
Allora g n(x) ′ := cos(nx) per ogni x ∈ R. Quindi, posto g(x) := 0 per ogni x ∈ R, sihag n → g
uniformemente in R, mag n ′ non converge (nemmeno puntualmente) a g ′ = 0; ad esempio,
g n(0) ′ = 1 per ogni n.
Inoltre, ancora sotto la sola ipotesi che f n → f uniformemente in [a, b],
le f n sono derivabili in x 0 ⇏ f è derivabile in x 0 . (1.9)
Controesempio. Sia f n (x) := √ x 2 + n −1 per ogni x ∈ R ed ogni n ∈ N. Allora f n (x) →
f(x) :=|x| per ogni x ∈ R, elef n sono derivabili in 0 mentre f non lo è.
Se f n → f puntualmente in una famiglia di insiemi {S a : a ∈ A} (per un qualche insieme di
indici A), allora in base alla definizione si verifica immediatamente che f n → f puntualmente
nella loro unione ⋃ a∈A S a . Un’analoga proprietà non vale per la convergenza uniforme. Ad
esempio la successione {f n (x) =x n } converge uniformemente in S a := [0,a] per ogni a ∈]0, 1[,
ma non in [0, 1[= ⋃ a∈]0,1[ S a . [Es]
4 Sia k ∈ N ed A ⊂ R. Si dice che una funzione f : A → C è di classe C k (e si scrive f ∈ C k (A)) se e solo se
f ammette derivate fino all’ordine k, e tutte queste funzioni sono continue in A. Sef ammette derivate di ogni
ordine, f è detta di classe C ∞ .
Considereremo funzioni a valori complessi, piuttosto che reali, per il semplice motivo che questa maggiore
generalità non costa quasi nulla. In quasi tutti i casi il lettore può comunque tranquillamente interpretare i
risultati pensando a funzioni reali.

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2 Serie di Funzioni
Data una successione di funzioni {f n }, tutte definite in uno stesso insieme ed a valori complessi,
∞∑
si considera la corrispondente serie di funzioni x ↦→ f n (x). Come già per il caso delle serie
numeriche, per serie di funzioni si intende propriamente la successione di funzioni costituita
dalle somme parziali: { m∑
x ↦→ f n (x) } . Tuttavia capita di usare il termine serie anche
m=1,2,...
n=0
per indicare la somma della serie che pure è una funzione, quando esiste.
I concetti di convergenza puntuale ed uniforme si estendono in modo naturale alle serie
di funzioni, dal momento che la convergenza di una serie numerica equivale a quella della
successione delle sue somme parziali. I due prossimi due teoremi possono essere facilmente
dimostrati mediante i Teoremi 1.2 e 1.3. [Es]
Teorema 2.1 (Passaggio al Limite nell’Integrale) Sia {u n } una successione di funzioni continue
[a, b] → C, tale che la serie di funzioni u n converga uniformemente. Allora la somma
∞∑
k=0
∞∑
della serie u n è pure una funzione continua,
k=0
n=0
∫ x ∞∑
∞∑
∫ x
u n (y) dy = u n (y) dy ∀x ∈ [a, b], (2.1)
a
n=0
n=0
a
e quest’ultima serie converge uniformemente in [a, b].
∫ b ∞∑
∞∑
∫ b
In particolare u n (y) dy = u n (y) dy.
a
n=0
n=0
a
Teorema 2.2 (Passaggio al Limite nella Derivata) Sia {u n } una successione di funzioni di
C 1 ([a, b]) tale che, per un opportuno x 0 ∈ [a, b],
∞∑
u ′ n converge uniformemente in [a, b],
n=0
∞∑
u n (x 0 ) converge. (2.2)
n=0
Allora
∞∑
u n converge uniformemente in [a, b], è derivabile in [a, b], e
k=0
(
∑ ∞ ) ′ ∑ ∞
u n = u ′ n in [a, b]. (2.3)
n=0
n=0
Per le serie numeriche si distinguono convergenza semplice ed assoluta (quest’ultima implica
la precedente). Lo stesso vale per successioni di funzioni e serie di funzioni.
Caveat. Per le serie di funzioni non vi è alcun legame tra convergenza semplice o assoluta
da una lato e convergenza puntuale od uniforme dall’altro. Si possono comunque accoppiare
proprietà di convergenza semplice o assoluta con proprietà di convergenza puntuale o uniforme;
ad esempio, si potrà dire che una certa serie converge assolutamente e puntualmente.

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n=1
Se non si specifica se la convergenza è semplice o assoluta, si intende che è semplice; ad
∞∑
∞∑
esempio, “ f n converge puntualmente” significa che “ f n converge puntualmente e semplicemente”.
Registriamo ora un importante condizione sufficiente per la convergenza uniforme delle serie
di funzioni, ed un suo ovvio corollario.
n=1
Teorema 2.3 * (di Weierstrass) Sia data una successione di funzioni {f n : A → C}. Se esiste
una successione numerica {M n } tale che
|f n (x)| ≤M n ∀x ∈ A, ∀n ∈ N,
∞∑
M n < +∞,
n=0
allora la serie di funzioni
∞∑
f n converge uniformemente ed assolutamente in A.
n=0
Corollario 2.4 * Sia data una successione di funzioni {f n : A → C}.
∞∑
sup |f n (x)| < +∞ ⇒
n=0 x∈A
∞∑
f n converge uniformemente ed assolutamente in A.
n=0
Per verificarlo basta porre M n = sup x∈A |f n (x)| per ogni n, ed applicare il teorema precedente.
Esercizi.
– Sia {f n } una successione di funzioni R → R, che convergono puntualmente ad una
funzione f. Se tutte le f n sono non decrescenti, anche f è non decrescente? Se tutte le f n sono
strettamente crescenti, anche f è strettamente crescente? Cambia qualcosa se la convergenza
è uniforme?
— Per ciascuna delle seguenti successioni di funzioni R → R
⎧
−1 se x ≤−1/n
⎪⎨
f n (x) := nx se −1/n

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3 Serie di Potenze
È naturale sviluppare questa teoria in C piuttosto che in R. Si definisce serie di potenze una
serie di funzioni della forma
∞∑
a n (z − z 0 ) n := a 0 + a 1 (z − z 0 )+a 2 (z − z 0 ) 2 + ···+ a n (z − z 0 ) n + ···, (3.1)
n=0
ove z ∈ C e pure a n ∈ C per ogni n ∈ N. 5 Qui si è posto 0 0 := 1 6 Questa serie definisce la
funzione
∞∑
m∑
)
f(z) = a n (z − z 0 )
(:= n lim a n (z − z 0 ) n
n=0
m→∞
n=0
per gli z per cui questa serie converge.
L’insieme in cui una generica serie di funzioni converge può essere molto generale; in base
al seguente teorema, l’insieme di convergenza delle serie di potenze ha invece una forma ben
precisa.
Teorema 3.1 (Teorema di Abel) Per ogni serie di potenze esiste R ∈ [0, +∞] tale che:
(i) la serie converge assolutamente per ogni z ∈ C tale che |z − z 0 | 0),
(ii) la serie non converge nemmeno semplicemente per ogni z ∈ C tale che |z − z 0 | >R(se
R0). 7
n=0
Pertanto se R = 0 la serie converge solo per z = z 0 , mentre se R =+∞ la serie converge
assolutamente per ogni z ∈ C. La convergenza uniforme della serie in ciascun cerchio B r (z 0 ) con
0

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Teorema 3.2 Sia data una successione {a n }. Se esiste L := lim n→∞ |a n | 1/n , allora la serie
∞∑
a n (z − z 0 ) n ha raggio di convergenza
n=0
R =1/L se 0