Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

• La Formula di Bayes. Questa poggia sulla nozione di probabilità condizionata: per ogni coppia
di eventi A, B
P(A ∩ B)
P(A|B) := se P(B) ≠ 0. (2.4)
P(B)
Pertanto, supponendo che P(A), P(B) ≠ 0,
da cui banalmente consegue che
P(A|B) · P(B) := P(A ∩ B) = P(B|A) · P(A),
P(A|B) = P(B|A)
P(B)
· P(A). (2.5)
Più in generale, data una partizione {A i } i=1,2,... di Ω costituita da eventi non trascurabili, sempre
supponendo P(B) ≠ 0, abbiamo
P(A i |B) = P(B|A i)
P(B)
ed applicando la (2.3) otteniamo la formula di Bayes:
P(A i |B) =
· P(A i ) per i = 1, 2, ....
P(B|A i )
∑j P(B|A j)P(A j ) · P(A i) per i = 1, 2, .... (2.6)
Questa formula si presta a diversi usi ed interpretazioni. Ad esempio, se le A i sono interpretate
come possibili cause di B, è naturale assegnare P (B|A i ), ovvero la probabilità dell’effetto B corrispondente
ad ogni possibile causa A i . La formula di Bayes fornisce allora P(A i |B), ovvero la probabilità
che l’effetto B possa essere attribuito alla causa A i . La formula di Bayes è quindi anche detta la
formula delle probabilità delle cause.
Si possono anche interpretare le P(A i ) come le probabilità attribuite alle alternative A i a priori
di un certo esperimento. Le P(A i |B) sono quindi le probabilità a posteriori dell’esperimento, ovvero
conseguenti all’esito B dello stesso. In base alla formula di Bayes, il rapporto tra la probabilità a
posteriori e quella a priori è pari a P(B|A i )/P(B). Se questo rapporto è maggiore (minore, rispett.)
di 1, allora l’esperimento tende a confermare (a smentire, rispett.) A i . La formula di Bayes può quindi
rappresentare il progredire della nostra conoscenza in seguito all’eperienza.
Formulario di Calcolo Combinatorio.
Numero di sottoinsiemi di un insieme di n elementi: 2 n .
Numero di disposizioni di un insieme di n elementi: #D n k = n!
(n − k)! .
Numero di combinazioni di un insieme di n elementi =
numero di sottoinsiemi di k elementi di un insieme di n elementi:
(
#Ck n n
)
= =
k
n!
k!(n − k)!
(detto coefficiente binomiale).
Numero di permutazioni di un insieme di n elementi: #P n = n!.
Numero di partizioni di un insieme di n elementi in al più m sottoinsiemi (ovvero m sottoinsiemi,
uno o più dei quali eventualmente vuoti): m n .
Numero di partizioni di un insieme di n elementi in m sottoinsiemi, rispettivamente di cardinalià
k 1 , ..., k m , con k 1 + ... + k m = n:
(
#Ck n n
)
1 ,...,k m
=
=
k 1 ... k m
n!
k 1 ! ... k m !
(detto coefficiente multinomiale).
Si noti che #C n k = #Cn k,n−k (= #Cn n−k ). 7