Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

Risoluzione. (i) Il numero N di nuclidi che decade in un secondo può essere rappresentato mediante
una variabile aleatoria binomiale N ∼ Bin(M, p). Come noto, la variabile N può essere approssimata
da una variabile aleatoria X di Poisson: N ≃ X ∼ P oi(λ), con λ = Mp = 2.
Il numero atteso di decadimenti in un secondo quindi vale E(N) ≃ E(X) = λ = 2.
(ii) La probabilità di osservare più di 4 decadimenti in un secondo è
P (N > 4) ≃ P (X > 4) = e −2 ∞ ∑
k=5
2 k
4∑
k! = 1 − e−2
k=0
2 k
k! = ...
I prossimi quesiti riguardano l’indipendenza delle variabili aleatorie; in proposito si vedano anche gli
esempi discussi nella sezione 3.
— Esercizio 16. (a) Siano X, Y : Ω → R due variabili aleatorie. Si può calcolare la legge di
Z 1 = X − Y ? e quella di Z 2 = XY ?
(b) Supponiamo ora che siano note soltanto le leggi P X , P Y . Si pongono allora le stesse due
domande della parte (a).
(c) Ancora supponendo che siano note soltanto le leggi P X , P Y , e supponendo anche che X e Y
siano limitate [in modo che non ci siano problemi di convergenza delle speranze] si può calcolare la
speranza di Z 1 ? e quella di Z 2 ?
Risoluzione. (a) Sì per entrambe le domande, poiché è nota la variabile aleatoria congiunta (X, Y ).
(b) No per entrambe le domande, poiché non è nota la legge congiunta P (X,Y ) , ovvero la legge
della variabile aleatoria congiunta (X, Y ).
(c) Si può calcolare la speranza di Z 1 = X − Y , poichè E(X − Y ) = E(X) − E(Y ). Invece per
calcolare la speranza di Z 2 occorrerebbe conoscere la legge congiunta P (X,Y ) .
— Esercizio 17. (a) Siano X, Y : Ω → R due variabili aleatorie limitate [in modo che non ci siano
problemi di convergenza delle speranze]. Si può calcolare la varianza di Z 1 = X − Y ? e quella di
Z 2 = XY ? e la covarianza di Z 1 e Z 2 ?
(b) Supponiamo ora che siano note soltanto le leggi P X , P Y . Si può calcolare la varianza di
Z 1 = X − Y ? e quella di Z 2 = XY ?
(c) Stessa domanda di (b), supponendo che X e Y siano indipendenti.
(d) Nelle ipotesi di (b), si può calcolare la speranza di Z 2 = e XY ?
Risoluzione. (a) Sì per tutte e tre le domande. Poiché, essendo nota la variabile aleatoria congiunta
(X, Y ), si ricava facilmente la legge congiunta di Z 1 e Z 2 .
(b) No per entrambe le domande, poiché non è nota la legge congiunta P (X,Y ) .
(c) Si può calcolare la varianza di Z 1 , poiché per via dell’indipendenza di X e Y
Var(Z 1 ) = Var(X) + Var(Y ) − 2 Cov(X, Y ) = Var(X) + Var(Y ),
Si può calcolare la varianza di Z 2 . Infatti l’indipendenza di X e Y implica quella di X 2 e Y 2 , 67 e
quindi
Var(Z 2 ) = E(X 2 · Y 2 ) − E(X · Y ) 2 = E(X 2 ) · E(Y 2 ) − E(X) 2 · E(Y ) 2 ;
per calcolare queste medie bastano le leggi di X e Y (senza bisogno della legge congiunta).
Per lo stesso motivo si può calcolare anche la covarianza di Z 1 e Z 2 :
Cov(Z 1 , Z 2 ) = E(Z 2 1 · Z 2 2) − E(Z 1 · Z 2 ) 2 = E(X 2 · Y 2 ) − E(X 2 · Y − X · Y 2 ) 2
= E(X 2 ) · E(Y 2 ) − [E(X 2 ) · E(Y ) − E(X) · E(Y 2 )] 2 .
(d) Si può calcolare la speranza di Z 2 = e XY , poiché Z 2 = e X · e Y , e le variabili aleatorie e X e e Y
sono indipendenti, dal momento che lo sono X e Y .
67 L’importante Proposizione 3.19 del [B; p. 56] si estende anche alle variabili aleatorie continue.
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