Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

Risoluzione. La probabilità richiesta vale
P ((R, R, R) ∪ (B, B, B)|(R, R) ∪ (B, B))
= P ((R, R, R)|(R, R) ∪ (B, B)) + P ((B, B, B)|(R, R) ∪ (B, B))
= P ((R, R, R))/P ((R, R) ∪ (B, B)) + P ((B, B, B))/P ((R, R) ∪ (B, B))
= P ((R, R, R)/[P ((R, R) + P (B, B))] + P ((B, B, B))/[P ((R, R) + P (B, B))]
( )/( )
= 6
10 · 5
9 · 4
8 + 4
10 · 3
9 · 2 6
8 10 · 5
9 + 4
10 · 3
9
.
(12.6)
In alternativa si poteva usare la formula di Bayes:
P (3 uguali|(2 uguali) = P (2 uguali|3 uguali) · P (3 uguali)/P (2 uguali)
= 1 · P (3 uguali)/P (2 uguali) = P ((R, R, R) ∪ (B, B, B))/P ((R, R) ∪ (B, B)),
(12.7)
e poi procedere come sopra.
— Esercizio 13. Un libro di n pagine presenta m refusi. Sia X il numero di refusi a pag. 10. È più
probabile X = 2 o X = 1?
Risoluzione. X è una variabile aleatoria con distribuzione Bernoulliana: X ∼ Ber(m, 1/n). Quindi
P (X = 1) = m(1/n) · [1 − (1/n)] m−1 , P (X = 2) = [m(m − 1)/2] · (1/n) 2 · [1 − (1/n)] m−2 .
Pertanto P (X = 1)/P (X = 2) = 2(n − 1)/[(m − 1)] ≃ 2n/m per n, m grandi.
— Per n, m grandi, posto λ := m/n, si può approssimare X con una variabile aleatoria Y avente
distribuzione di Poisson: Y ∼ P oi(λ). Quindi
Pertanto P (X = 1)/P (X = 2) = 2/λ = 2n/m.
P (X = 1) = e −λ λ 1 /1, P (X = 2) = e −λ λ 2 /2.
Osservazione per m = 2n: per la distribuzione Bernoulliana prevale di poco X = 2; la distribuzione
di Poisson invece li dà alla pari (!).
— Esercizio 14. Metà dei gemelli eterozigoti hanno lo stesso sesso, mentre tutti i gemelli omozigoti
hanno lo stesso sesso. Due terzi dei gemelli hanno lo stesso sesso.
(i) Si calcoli la percentuale dei gemelli omozigoti.
(i) Si calcoli la probabilità che due gemelli dello stesso sesso siano omozigoti.
Risoluzione. (a) Si definiscano i seguenti eventi:
O: i gemelli sono omozigoti;
E: i gemelli sono eterozigoti;
E: i gemelli hanno lo stesso sesso.
Allora P (S|O) = 1, P (S|E) = 1/2, P (S) = 2/3. Si noti che
P (S) = P (S|O) · P (O) + P (S|E) · P (E) = P (O) + (1/2) · [1 − P (O)];
quindi P (O) = 1/3.
(b) La formula di Bayes fornisce P (O|S) = P (S|O) · P (O)/P (S) = (1/3)/(2/3) = 1/2.
— Esercizio 15. Supponiamo che un campione radioattivo contenga M = 2 · 10 10 nuclidi, ciascuno
dei quali ha la probabilità p = 10 −10 di decadere in un secondo. Calcolare:
(i) il numero atteso di decadimenti in un secondo,
(ii) la probabilità di osservare più di 4 decadimenti in un secondo.
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