Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

A: S passa l’esame di An. II entro il secondo anno,
L: S si laurea restando in corso.
Quindi P(A) = 1/3, P(L) = 1/4, P(A|L) = 7/10,
(2) Risoluzione.
(a) P(L|A) = P(A|L) · P(L)/P(A) = (7/10) · (1/4)/(1/3) = 21/40.
(b) Il guadagno atteso con cumulo è pari a
500 · P(L) + 100 · P(A) = 500/4 + 100/3 = 1900/12 E.
a
Poiché P(A ∩ L) = P(A|L) · P(L) = (7/10) · (1/4) = 7/40, il guadagno atteso senza cumulo è pari
500 · P(L) + 100 · [P(A \ L)] = 500 · P(L) + 100 · [P(A) − P(A ∩ L)]
= 500/4 + 100/3 − 100 · (7/40) = 1690/12 E.
(12.4)
(3) Conclusioni.
(a) P(L|A) = 21/40.
(b) Guadagno atteso con cumulo: 1900/12 E. Guadagno atteso senza cumulo: 1690/12 E.
— Esercizio 11. Nel gioco del lotto vengono estratti successivamente 5 numeri (tra 90) senza
reimmissione.
(a) Qual è la probabilità che 7 sia il secondo numero estratto?
(b) Sapendo che 7 non è stato il primo numero estratto, qual è la probabilità che venga estratto
come secondo numero?
(c) La probabilità di estrarre il numero 7 aumenta dopo ogni estrazione mancata?
(d) Sapendo che il primo numero estratto è stato pari, qual è la probabilità che 7 sia estratto come
secondo numero?
(e) Sapendo che il primo numero estratto è stato dispari, qual è la probabilità che 7 sia estratto
come secondo numero?
(f) Sapendo che il primo numero estratto è risultato ≤ 30, qual è la probabilità che 7 sia estratto
come secondo numero?
Risoluzione. (a) Per ciascun numero, la probabilità di essere estratto come primo numero è pari a
quella di essere estratto come settimo numero, ovvero 1/90.
(b) Dal momento che dopo la prima estrazione restano 89 numeri, la probabilità è 1/89.
(c) Sì: dopo l’n-esima estrazione mancata vale 1/(90 − n).
(d) Sapendo che il primo estratto è stato un pari, la probabilità è 1/89.
(e) Definiamo gli eventi
D: il primo estratto è stato un dispari; E: il primo estratto è stato un dispari diverso da 7;
S: il secondo estratto è il 7.
Osserviamo che S ∩ D = S∩ e che E ed S sono indipendenti. Quindi
P (S|D) = P (S ∩ D)/P (D) = P (S ∩ E)/P (D) = P (S) · P (E)/P (D)
= (1/89) · (44/90)/(1/2) = 44/(89 · 45).
(12.5)
(f) Procedendo in modo analogo al caso (e), si ottiene P = (29/30) · (1/89).
— Esercizio 12. Da una scatola contenente 6 biglie rosse e 4 bianche si estraggono successivamente
tre biglie (senza reimmissione). Sapendo che la prime due biglie estratte sono dello stesso colore, qual
è la probabilità che anche la terza sia dello stesso colore?
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