Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

La probabilità di vittoria è quindi 2 · (19/37) · (18/36) · (18/35).
— Esercizio 6. Si estraggano successivamente (senza reimmissione) due biglie da un’urna contenente
5 biglie bianche e 3 nere. Sia definita una “funzione premio” nel seguente modo: l’estrazione di ogni
biglia bianca viene premiata con 2 E, e quella di ogni biglia nera con 1 E. Sia X i il premio riscosso in
base alla i-esima estrazione.
(a) Qual è la probabilità che le due biglie estratte abbiano colore diverso?
(b) Si calcoli la legge congiunta di X 1 e X 2 .
(c) Si calcoli il valore atteso di X 1 + X 2 .
Risoluzione. Definiamo i seguenti eventi:
BN: la prima biglia estratta è bianca, la seconda è nera,
BB: la prima biglia estratta è bianca, la seconda è bianca,
NN: la prima biglia estratta è nera, la seconda è nera,
NB: la prima biglia estratta è nera, la seconda è bianca.
(a) P(BN) = 15/56, P(NB) = 15/56. Pertanto P(BN) + P(NB) = 15/28.
(b) P(BN) = 15/56, P(NB) = 15/56, P(BB) = 10/28, P(NN) = 3/28.
(c) E(X 1 +X 2 ) = 3P(BN)+3P(NB)+4P(BB)+2P(NN) = 3·15/56+3·15/56+4·10/28+2·3/28.
— Esercizio 7. Ho probabilità 2/5 di incontrare Aldo (da solo o con altri), e probabilità 1/5 di
incontrare sia Aldo che Bruno. Assumendo che l’incontro con Aldo sia indipendente da quello con
Bruno,
(a) che probabilità ho di incontrare Bruno?
(b) incontrando Aldo, che probabilità ho di incontrare anche Bruno?
(c) se incontro Aldo, questi mi restituisce 1 Euro (che mi doveva); se incontro Bruno, sono io che
gli restituisco 2 Euro (che gli dovevo). Se sono uscito con 10 Euro, alla fine qual è il valore atteso che
mi dovrei trovare in tasca?
Risoluzione. Definiamo i seguenti eventi:
A: incontro Aldo, B: incontro Bruno.
Abbiamo P(A) = 2/5, P(A ∩ B) = 1/5.
(a) In seguito all’ipotesi di indipendenza, P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Quindi P(B) = 1/2.
(b) Inoltre P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A) = (1/5)/(1/2) = 2/5.
(c) “Incasso” atteso: 1P(A) + (−2)P(B) = 2/5 − 1 = −3/5.
Valore atteso residuo 10 − 3/5 = 47/5.
— Esercizio 8. Da un cassetto contenente 4 monete d’oro e 3 d’argento si estraggono successivamente
tutte le monete (senza reimmissione!).
(a) Qual è la probabilità che la sesta moneta estratta sia d’oro?
(b) L’esito della quinta estrazione è indipendente dall’esito della prima? Vale il viceversa?
(c) Sapendo che la prime due monete estratte sono di metalli diversi, qual è la probabilità che la
prima e la quinta siano dello stesso metallo?
(d) Sapendo che la moneta d’oro vale 10 E e quella d’argento 2 E, qual è il valore atteso corrispondente
all’estrazione delle ultime due monete?
Risoluzione. (a) La probabilità che la sesta moneta estratta sia d’oro è la stessa che la prima moneta
estratta sia d’oro (anche se non cè reimmissione!). Quindi vale 4/7.
(b) L’esito della quinta estrazione non è indipendente dall’esito della prima. Lo stesso vale per il
viceversa, poiché la relazione di indipendenza è simmetrica.
(c) Definiamo i seguenti eventi:
OO: la prima e la seconda moneta estratte sono d’oro, P(OO) = (4/7) · (3/6) = 12/42,
AA: la prima e la seconda moneta estratte sono d’argento, P(AA) = (3/7) · (2/6) = 1/7,
OA: la prima moneta estratta è d’oro, la seconda è d’argento, P(OA) = (4/7) · (3/6) = 12/42,
AO: la prima moneta estratta è d’argento, la seconda è d’oro, P(AO) = (3/7) · (4/6) = 12/42,
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