Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

(i) Le monete numero 3 e numero 7 danno croce e le altre danno testa,
(ii) Due monete (non specificate) danno croce e le altre danno testa,
(iii) Le monete pari danno uno stesso risultato, e pure tutte le monete dispari danno uno stesso
risultato.
Risoluzione. (i) L’evento indicato corrisponde a otto successi (testa) e due insuccessi (croce) in dieci
esperimenti bernoulliani di parametro p, quindi ha probabilità p 8 (1 − p) 2 .
(ii) L’evento indicato corrisponde a otto successi in uno schema bernoulliano di dieci prove di
parametro p, quindi ha probabilità
C8 10 p 8 (1 − p) 2 = C2 10 p 8 (1 − p) 2 = 10 · 9 · p 8 (1 − p) 2 .
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(iii) Definiamo i seguenti eventi:
PT: le monete pari danno testa, PC: le monete pari danno croce,
DT: le monete dispari danno testa, DC: le monete dispari danno croce.
Abbiamo P(P T ) = P(DT ) = p 5 , P(P C) = P(DC) = (1 − p) 5 .
L’evento indicato ha probabilità
P(P T ) · P(DT ) + P(P C) · P(DC) + P(P T ) · P(DC) + P(P C) · P(DT )
= p 10 + (1 − p) 10 + 2p 5 · (1 − p) 5 .
(12.1)
— Esercizio 4. Si lanci un dado 3 volte.
(i) Che probabilità c’è di ottenere tre numeri pari (eventualmente ripetuti) nel caso di un dado
equilibrato?
(ii) E se il dado non è equilibrato? (Si indichi con q i la probabilità di ottenere la faccia i, con
i = 1, 2, ..., 6.)
(iii) Che probabilità c’è di ottenere tre numeri pari diversi nel caso di un dado equilibrato?
Risoluzione. (i) Poiché ad ogni lancio la probabilità di ottenere un numero pari è 1/2, per un dado
equilibrato la probabilità di ottenere tre numeri pari è 1/2 3 .
(ii) Ad ogni lancio, la probabilità di ottenere un numero pari è q 2 + q 4 + q 6 . Quindi la probabilità
di ottenere tre numeri pari è (q 2 + q 4 + q 6 ) 3 .
(iii) La probabilità di ottenere tre numeri pari diversi nel caso di un dado equilibrato è (3/6) ·
(2/6) · (1/6) = 1/36.
— Esercizio 5. Estraggo una dopo l’altra 6 carte da un mazzo di 40 (che consiste di 20 carte rosse
e 20 nere). Scommetto che la prima carta estratta sia nera e che nell’estrazione le carte rosse si
alterneranno a quelle nere. Se le prime 3 estrazioni vanno bene, qual è la probabilità di vittoria?
Si risponda distinguendo tra questi due casi:
(a) estraggo con rimpiazzo, (b) estraggo senza rimpiazzo.
Risoluzione. Definiamo i seguenti eventi, per n = 1, 2, ..., 6:
N n : la n-sima carta estratta è nera, R n : la n-sima carta estratta è rossa.
(a) Poiché le estrazioni sono indipendenti e ad ogni estrazione la probabilità di estrarre la carta
del colore giusto è pari a 20/40 = 1/2, la probabilità di vittoria è 1/2 3 .
(b) La probabilità di vittoria partendo con una carta nera è
P(R 4 ∩ N 5 ∩ R 6 | N 1 ∩ R 2 ∩ N 3 ) = (19/37) · (18/36) · (17/35).
Lo si vede facilmente anche senza bisogno di calcolare la probabilità condizionata, poiché
dopo N 1 ∩ R 2 ∩ N 3 restano 19 carte rosse su 37,
dopo N 1 ∩ R 2 ∩ N 3 ∩ R 4 restano 18 carte nere su 36,
dopo N 1 ∩ R 2 ∩ N 3 ∩ R 4 ∩ N 5 restano 17 carte rosse su 35.
La probabilità di vittoria partendo con una carta rossa è la stessa.
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