Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

Leggi discrete infinite:
legge geometrica, di Poisson:
Geo(p),
Poi(λ).
Leggi continue:
legge uniforme, esponenziale, normale (o gaussiana):
Unif([a, b]), Exp(λ), N(µ, σ 2 ).
Le rispettive densità, funzioni di ripartizione, speranze e varianze sono riassunte in una tabella [B,
p. 136]. Diverse altre leggi notevoli sono studiate in letteratura. Nondimeno un ventaglio alquanto
limitato di esse è sufficiente per rappresentare un gran numero di fenomeni fisici ed ingegneristici.
Si noti che si possono costruire infinite misure di probabilità, usando una densità discreta oppure,
se Ω ⊂ R N , una densità continua come in (4.4). Per ogni variabile aleatoria X, ciascuna di queste
probabilità individua poi una legge.
12 Esercizi
— Esercizio 1. Un mobile ha 2 cassetti. Uno contiene 2 biglie nere e 3 bianche, un altro 1 biglia
nera e 2 bianche.
(a) Prima si sceglie a caso un cassetto, poi al suo interno si estrae a sorte una biglia.
Qual è la probabilità di estrarre una biglia nera?
(b) Associamo ora il numero 2 alle biglie nere, ed il numero 3 a quelle bianche. In questo modo
all’estrazione con esito X è associato un numero ϕ(X).
Si calcolino speranza e varianza di ϕ(X) e di 2ϕ(X) + 2.
Risoluzione. Definiamo i seguenti eventi:
F: si è scelto il primo cassetto, S: si è scelto il secondo cassetto,
B: la biglia estratta è bianca, N: la biglia estratta è nera.
Quindi P(F ) = P(S) = 1/2, P(N|F ) = 2/5, P(N|S) = 1/3.
(a) Grazie alla formula della probabilità totale,
P(N) = P(N|F ) · P(F ) + P(N|S) · P(S) = (2/5) · 1/2 + (1/3) · 1/2 = 11/30.
(Pertanto P(B) = 1 − 11/30 = 19/30.)
(b) E(ϕ(X)) = 2P(N) + 3P(B) = 79/11; E(2ϕ(X) + 2) = 2E(ϕ(X)) + 2 = 158/11 + 2.
Var(ϕ(X)) = 4P(N) + 9P(B) − E(ϕ(X)) 2 = ....; Var(2ϕ(X) + 2) = 4 Var(ϕ(X)) = ....
— Esercizio 2. Da una scatola contenente 6 biglie rosse e 4 bianche si estraggono successivamente
tre biglie (senza reimmissione).
(a) Qual è la probabilità che la terza biglia sia rossa?
(b) Qual è la probabilità che la prima e la terza biglia estratta siano dello stesso colore?
Risoluzione. (a) La probabilità che la terza biglia sia rossa è la stessa che la prima biglia sia rossa,
ovvero 2/5.
(b) La probabilità la prima e la terza biglia estratta siano dello stesso colore è la stessa che lo siano
le prime due biglie estratte. Definiamo i seguenti eventi:
BB: la prima e la seconda biglia estratte sono bianche,
RR: la prima e la seconda biglia estratte sono rosse.
Allora P(BB) = (4/10) · (3/9) = 4/30, P(RR) = (6/10) · (5/9) = 1/3. Pertanto
P(BB) + P(RR) = (4/30) + (1/3) = 7/15.
— Esercizio 3. Si lancino 10 monete numerate da 1 a 10, tutte con la stessa probabilità p ∈ ]0, 1[ di
dare testa. Si calcolino le probabilità dei seguenti eventi:
42