Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

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10 * Un Problema di Controllo Stocastico Supponiamo di voler produrre pezzi di lunghezza nominale L ∗ mediante una macchina che produce pezzi di lunghezza effettiva X n = L + δ n ∀n ≥ 0, (10.1) con L inaccessibile, ma con δ n che possiamo controllare (ad esempio regolando una vite micrometrica). Distingueremo il caso deterministico da quello stocastico. Caso Deterministico. Per un qualsiasi δ 0 , produciamo un primo pezzo di lunghezza X 0 = L + δ 0 . Misuriamo X 0 , imponiamo δ 1 = δ 0 + L ∗ − X 0 (= L ∗ − L !), (10.2) e produciamo un secondo pezzo di lunghezza Proseguiamo ponendo X 1 = L + δ 1 = L + δ 0 + L ∗ − X 0 = L ∗ . (10.3) δ n = δ n−1 + L ∗ − X n−1 (= δ 1 ) ∀n ≥ 1. (10.4) e quindi ottendendo pezzi di lunghezza X n = L ∗ per ogni n ≥ 1. Caso Stocastico. Supponiamo ora che la produzione di ogni pezzo sia soggetto ad un errore, che rappresentiamo mediante una variabile aleatoria W n : X n = L + δ n + W n ∀n ≥ 0. (10.5) Supponiamo anche che le W n siano indipendenti ed equidistribuite, con E(W n ) = 0, Var(W n ) = σ 2 ∀n ≥ 0. (10.6) Se il valore di L fosse accessibile, potremmo porre δ n = L ∗ − L, ottenendo δ n = L ∗ + W n , e quindi E(X n ) = L ∗ , Var(X n ) = σ 2 ∀n ≥ 0. (10.7) Questo risultato sarebbe ottimale, poiché non si può scendere sotto la varianza del “rumore” W . Ma, essendo il valore di L inaccessibile, possiamo procedere in tre modi diversi: (i) Possiamo ancora definire δ 1 = δ 0 + L ∗ − X 0 (= L ∗ − L − W 0 ) come in (10.2), e δ n = δ 1 per ogni n ≥ 1. Otteniamo Quindi X n = L + δ n + W n = L + δ 0 + L ∗ − X 0 + W n = L ∗ − W 0 + W n ∀n ≥ 1. (10.8) E(X n ) = L ∗ , Var(X n ) = 2σ 2 ∀n ≥ 0. (iii) Per ogni pezzo possiamo cercare di compensare l’errore del pezzo precedente. In analogia con la (10.4), poniamo allora δ n = δ n−1 + L ∗ − X n−1 ∀n ≥ 1, (10.9) ottenendo Quindi anche in questo caso X n = L + δ n−1 + L ∗ − X n−1 + W n (10.1) = L ∗ − W n−1 + W n ∀n ≥ 0. (10.10) E(X n ) = L ∗ , Var(X n ) = 2σ 2 ∀n ≥ 0. 40
(iii) Ad ogni pezzo possiamo cercare di compensare l’errore utilizzando l’informazione fornita da tutti i pezzi precedenti. δ n = δ n−1 + L ∗ − 1 n∑ X k−1 ∀n ≥ 1. (10.11) n Questo fornisce k=1 X n = L + δ n = L + δ n−1 + L ∗ − 1 n∑ X k−1 + W n n k=1 (10.1) = L ∗ − 1 n∑ W k−1 + W n ∀n ≥ 0. n k=1 Per il principio di compensazione e per la (10.1), Var ( 1 n ∑ nk=1 W k−1 ) = σ 2 /n; quindi (10.12) E(X n ) = L ∗ , Var(X n ) = (1 + 1 n )σ2 ∀n ≥ 0. (10.13) Conclusioni. La procedura (i) è la meno onerosa, poiché richiede solo una misurazione ed una regolazione. La procedura (ii) è ben più onerosa, poiché richiede una misurazione ed una regolazione per ogni pezzo prodotto, ma non presenta vantaggi rispetto alla (i). La procedura (iii) è tanto onerosa quanto la (ii), ma al limite per n → ∞ riduce la varianza al minimo irriducibile σ 2 . La procedura (ii) è quindi svantaggiosa rispetto alle altre due; si dice che presenta un eccesso di controllo. 11 Sintesi Principali Temi Trattati. Statistica descrittiva. Istogrammi. Mediana, funzione di ripartizione e quantili, boxplots. Media, varianza, covarianza, momenti. Regressione lineare. Probabilità. Spazi di probabilità Ω e misura di probabilità P. Probabilità condizionata. Formula della probabilità totale (2.3). Formula di Bayes. Indipendenza di eventi. Calcolo combinatorio. Disposizioni, permutazioni, combinazioni e partizioni. Variabili aleatorie discrete. Variabili aleatorie X e loro leggi P X . Variabili aleatorie discrete e continue. Densità di probabilità discreta p X . Leggi di Bernoulli, binomiale, ipergeometrica, geometrica e di Poisson. Funzione di ripartizione per variabili aleatorie discrete. Variabili aleatorie congiunte, loro marginali e rispettive leggi. Indipendenza di variabili aleatorie discrete. Calcoli con densità. Speranza, varianza, covarianza di variabili aleatorie discrete. Teorema di Chebyshev e teorema dei grandi numeri. Variabili aleatorie continue. Funzione di ripartizione F X e densità f X = F X ′ di variabili aleatorie continue. Quantili. Legge uniforme e legge esponenziale. Indipendenza di variabili aleatorie continue. Legge normale. Speranza, varianza, covarianza di variabili aleatorie continue. Convergenza in legge e teorema limite centrale. Stima di parametri. Stimatori e stime puntuali. Stimatori di massima verosimiglianza. Stime intervallari. Confidenza. Test di ipotesi. Ipotesi nulla ed alternativa. Tipi di errore. Significatività. p-value. Principali Leggi Esaminate. Leggi discrete finite: legge uniforme, di Bernoulli, binomiale, ipergeometrica: Unif(n), Ber(p) (= Bin(1, p)), Bin(n, p), Iper(r, b, n). 41
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