Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

10 * Un Problema di Controllo Stocastico
Supponiamo di voler produrre pezzi di lunghezza nominale L ∗ mediante una macchina che produce
pezzi di lunghezza effettiva
X n = L + δ n ∀n ≥ 0, (10.1)
con L inaccessibile, ma con δ n che possiamo controllare (ad esempio regolando una vite micrometrica).
Distingueremo il caso deterministico da quello stocastico.
Caso Deterministico. Per un qualsiasi δ 0 , produciamo un primo pezzo di lunghezza X 0 = L + δ 0 .
Misuriamo X 0 , imponiamo
δ 1 = δ 0 + L ∗ − X 0 (= L ∗ − L !), (10.2)
e produciamo un secondo pezzo di lunghezza
Proseguiamo ponendo
X 1 = L + δ 1 = L + δ 0 + L ∗ − X 0 = L ∗ . (10.3)
δ n = δ n−1 + L ∗ − X n−1 (= δ 1 ) ∀n ≥ 1. (10.4)
e quindi ottendendo pezzi di lunghezza X n = L ∗ per ogni n ≥ 1.
Caso Stocastico. Supponiamo ora che la produzione di ogni pezzo sia soggetto ad un errore, che
rappresentiamo mediante una variabile aleatoria W n :
X n = L + δ n + W n ∀n ≥ 0. (10.5)
Supponiamo anche che le W n siano indipendenti ed equidistribuite, con
E(W n ) = 0, Var(W n ) = σ 2 ∀n ≥ 0. (10.6)
Se il valore di L fosse accessibile, potremmo porre δ n = L ∗ − L, ottenendo δ n = L ∗ + W n , e quindi
E(X n ) = L ∗ , Var(X n ) = σ 2 ∀n ≥ 0. (10.7)
Questo risultato sarebbe ottimale, poiché non si può scendere sotto la varianza del “rumore” W .
Ma, essendo il valore di L inaccessibile, possiamo procedere in tre modi diversi:
(i) Possiamo ancora definire
δ 1 = δ 0 + L ∗ − X 0 (= L ∗ − L − W 0 )
come in (10.2), e δ n = δ 1 per ogni n ≥ 1. Otteniamo
Quindi
X n = L + δ n + W n = L + δ 0 + L ∗ − X 0 + W n = L ∗ − W 0 + W n ∀n ≥ 1. (10.8)
E(X n ) = L ∗ , Var(X n ) = 2σ 2 ∀n ≥ 0.
(iii) Per ogni pezzo possiamo cercare di compensare l’errore del pezzo precedente. In analogia con
la (10.4), poniamo allora
δ n = δ n−1 + L ∗ − X n−1 ∀n ≥ 1, (10.9)
ottenendo
Quindi anche in questo caso
X n = L + δ n−1 + L ∗ − X n−1 + W n
(10.1)
= L ∗ − W n−1 + W n ∀n ≥ 0. (10.10)
E(X n ) = L ∗ , Var(X n ) = 2σ 2 ∀n ≥ 0.
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