Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

funzione di inaffidabilità U(t) (= 1 − R(t)) = P(V < t) coincide con la funzione di ripartizione della
durata di vita V .
Se supponiamo che i dispositivi siano stocasticamente indipendenti, allora le leggi (9.1) e (9.2)
sono ovviamente generalizzate come segue:
per sistemi in serie:
per sistemi in parallelo:
R(t) = R 1 (t) · ... · R N (t)
U(t) = U 1 (t) · ... · U N (t)
∀t > 0. (9.3)
per sistemi in serie:
per sistemi in parallelo:
V (t, ω) = min{V 1 (t, ω), ..., V N (t, ω)}
V (t, ω) = max{V 1 (t, ω), ..., V N (t, ω)}
∀t > 0, per ω ∈ Ω. (9.4)
L’applicazione ripetuta di queste semplici regole permette di estenderle a strutture ben più generali
delle combinazioni in serie e in parallelo: ad esempio combinazioni in serie di più dispositivi, ciascuno
consistente in una combinazione in parallelo di componenti, ecc..
* Tasso di Guasto. Per la definizione di probabilità condizionata, la probabilità che un dispositivo
funzionante all’istante t > 0 subisca un guasto in un intervallo di tempo [t, t + ∆t] è pari a
P(t < V ≤ t + ∆t)
P(t < V )
=
P(t < V ) − P(t + ∆t < V )
P(t < V )
=
R(t) − R(t + ∆t)
.
R(t)
Il tasso medio di guasto in tale intervallo temporale è quindi [R(t) − R(t + ∆t)]/[∆t R(t)]. Passando
al limite per ∆t → 0, si perviene quindi al
tasso istantaneo di guasto:
Z(t) = − R′ (t)
R(t)
(≥ 0) ∀t > 0, (9.5)
a cui corrisponde, integrando questa semplice equazione differenziale e ponendo R(0) = 1, la
funzione di affidabilità:
R(t) = e − ∫ t
0 Z(τ) dτ ∀t > 0. (9.6)
Come già osservato, U(t) (= 1−R(t)) = P(V < t) coincide con la funzione di ripartizione della durata
di vita V ; la corrispondente densità di probabilità è il
tempo di guasto:
f(t) = −R ′ (t) = Z(t)e − ∫ t
0 Z(τ) dτ ∀t > 0. (9.7)
∗ Legge di Weibull. A volte la funzione Z viene assunta costante, il che corrisponde ad un tempo
di guasto f(t) esponenziale:
f(t) = Ze −Zt ∀t > 0. (9.8)
In tal caso i tempi di attesa tra due diversi guasti hanno una distribuzione di Poisson. In questo modo
però si escludono effetti di memoria, in particolare si trascura l’usura del dispositivo (quindi l’usato
sarebbe come il nuovo...). In diversi casi è più realistico supporre che inizialmente Z decresca (un
dispositivo rodato è più affidabile di uno nuovo...), resti poi pressoché costante per un lungo tratto,
ed infine cresca In una certa misura, questo si applica anche al tasso di mortalità umana. Questo è
rappresentato dalla curva detta a vasca da bagno si veda la figura di [B, p. 103]. Un tempo di guasto
spesso utilizzato è la
legge di Weibull: f(t) = αβt β−1 e −αtβ per t > 0, con α, β parametri > 0. (9.9)
Questa corrisponde al tasso istantaneo di guasto Z(t) = αβt β−1 , che è decrescente per 0 < β < 1 e
crescente per β > 1.
Si definisce anche durata media di un dispositivo il tempo medio di guasto:
E(T ) =
∫ +∞
0
tf(t) dt =
∫ +∞
0
R(t) dt. (9.10)
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