Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

Questo procedimento è basato sulla rappresentazione degli errori {δ i : i = 1, ..., N} come variabili
aleatorie reali, centrate e dotate di media finita {µ i : i = 1, ..., N} e varianza finita {σi 2 : i = 1, ..., N}.
Lo stesso quindi vale per δ, che avrà media finita µ = ∑ N
i=1 µ i e varianza incognita ma finita σ 2 .
Ciascuna varianza σi
2 è poi messa in relazione con la rispettiva tolleranza ε i ; si può porre ad
esempio ε i = Kσ i , per un’opportuna costante K > 0. 63 Infine si suppone che
gli errori {δ i : i = 1, ..., N} siano stocasticamente indipendenti. 64 (8.2)
Sotto queste ipotesi, il principio di mutua compensazione fornisce
σ 2 ≤
N∑
i=1
σ 2 i = 1
K 2
Ad esempio, se gli ε i sono uniformi, ovvero ε i = ε 1 per i = 1, ..., N,
N ∑
i=1
(
ε 2 i ovvero ε ′′ ∑ N ) 1/2
:= Kσ ≤ ε 2 i . (8.3)
i=1
N∑
ε ′ = ε i = Nε 1 ,
i=1
(
ε ′′ ∑ N ) 1/2
≤ ε 2 i = √ N ε 1 . (8.4)
i=1
Pertanto ε ′ = √ N ε ′′ , indipendentemente da K e dalle distribuzioni assunta per gli errori {δ i : i =
1, ..., N}. Quindi 65 ε ′′ < ε ′ per ogni N, ε ′′ 0 tale
che, denotando ε i l’errore commesso nel calcolo di A i , sia |ε i | ≤ δ per ogni i. Ci si chiede come si
possa stimare l’errore complessivo ε commesso nel calcolo di A := ∑ N
i=1 A i .
Per i = 1, ..., N, interpreteremo gli errori ε i come realizzazioni di variabili aleatorie X i (ovvero,
ε i = X i (ω) per ogni ω ∈ Ω), aventi deviazione standard σ i ≤ δ. L’errore complessivo ε risulta quindi la
realizzazione della variabile aleatoria X := ∑ N
i=1 X i avente deviazione standard σ da valutare. Dal momento
che le operazioni sono eseguite in parallelo, supporremo che le variabili X i siano stocasticamente
indipendenti. Allora, per il principio di compensazione, σ 2 = ∑ N
i=1 σ 2 i (≤ Nδ2 ).
Mentre l’approccio deterministico conduce a considerare l’errore massimo possibile, ovvero |ε| ≤
Nδ =: e max , l’impostazione probabilistica fornisce σ ≤ √ Nδ. Quindi
σ ≤ e max
√
N