Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

Infine, ricordiamo che per α fissato c’è un’ampia scelta degli intervalli relativi alle stime bilatere,
anche se ovviamente l’intervallo simmetrico è unico. Pertanto la scelta della regione critica C del test
non è necessariamente unica, nemmeno se la statistica del test ed il livello di significatività sono fissati.
Si giunge quindi alla seguente conclusione un po’ paradossale: si possono progettare due test diversi
che hanno la stessa statistica-test e lo stesso livello di significatività, e che nondimeno, a fronte dello
stesso campionamento, forniscono due decisioni opposte (!) 58
p-Value. La procedura che abbiamo appena descritta consiste nel prescrivere a priori il livello di
significatività α, e poi respingere o meno l’ipotesi H 0 in base ai valori assunti dal campione — o
meglio dalla statistica del test valutata sui valori campionati. Si può impostare la significatività di
un test anche ribaltando questo punto di vista: in alternativa si può prima valutare la statistica
sul campione selezionato, e su questa base individuare per quali livelli di significatività l’ipotesi H 0
verrebbe respinta.
Si definisce allora il concetto di p-value relativo ad un campionamento della statistica del test
U(X 1 , ..., X n ). 59 (Come sappiamo, il campionamento è individuato dalla scelta di un ω ∈ Ω.) Per
ogni livello di significatività α, indichiamo con C α una regione critica che soddisfi la relazione (7.9), e
poniamo
p-value = sup {α ∈ ]0, 1[: U(X 1 (ω), ..., X n (ω)) ∉ C α }
(7.10)
(= inf {α ∈ ]0, 1[: U(X 1 (ω), ..., X n (ω)) ∈ C α }).
In altri termini, il p-value è l’estremo superiore dei livelli di significatività α per cui si accetta l’ipotesi
H 0 , e questo coincide con l’estremo inferiore degli α per cui si rifiuta H 0 .
Più piccolo è il p-value, più grande è l’evidenza sperimentale che l’ipotesi H 0 sia falsa. Il p-value
può essere quindi interpretato come una misura delle prove avverse all’ipotesi H 0 , relative al risultato
del campionamento.
Ad esempio, torniamo al problema della stima della media di una variabile aleatoria X avente
distribuzione normale di media µ incognita e varianza σ 2 nota. Vogliamo definire un test per verificare
se µ = µ 0 , cf. (7.7). Precedentemente abbiamo scelto un livello di significatività α, abbiamo effettuato
un campionamento, e ne abbiamo tratte le conseguenze. Adesso in base alla (7.10) calcoliamo il p-value
relativo al campionamento; in questo modo possiamo delineare un quadro più preciso della situazione.
Consideriamo ad esempio i tre casi seguenti:
(i) p-value = 0.049. Allora al livello di significatività α = 0.05 rifiutiamo H 0 , mentre al livello
α = 0.01 non rifiutiamo tale ipotesi. Dal momento che 0.049 è prossimo a 0.05 e distante da 0.01,
per α = 0.05 il rifiuto di H 0 dovrebbe essere (per così dire...) poco convinto, mentre per α = 0.01
l’accettazione di H 0 (o, a voler essere precisi, il non rifiuto di H 0 ) dovrebbe essere più convinta.
(ii) p-value = 0.011. Come nel caso (i), al livello di significatività α = 0.05 rifiutiamo H 0 , mentre
al livello α = 0.01 non rifiutiamo tale ipotesi. Dal momento che 0.011 è distante da 0.05 e prossimo a
0.01, per α = 0.05 il rifiuto di H 0 dovrebbe essere convinto, mentre per α = 0.01 l’accettazione di H 0
dovrebbe essere poco convinta.
(iii) p-value = 0.009. Rifiutiamo H 0 sia al livello di significatività α = 0.05 che a quello α = 0.01.
Dal momento che 0.009 è distante da 0.05 e prossimo a 0.01, il rifiuto di H 0 dovrebbe essere convinto
per α = 0.05, mentre per α = 0.01 dovrebbe essere meno convinto.
Queste differenze qualitative sono l’essenza del significato del p-value. Anche qui, onestà vorrebbe
che si scegliesse il livello di significatività prima di aver visto il p-value.
Nella pratica, calcolare il p-value non è più oneroso che decidere l’esito del test per un prescritto
livello di significatività α, e l’uso del p-value permette di fornire una rappresentazione più precisa del
quadro statistico. Tuttavia stabilire a priori il livello di significatività può presentare dei vantaggi;
58 Ci possono essere dei motivi statistici per scegliere un test piuttosto che l’altro. Onestà vorrebbe che uno facesse la
scelta del test prima di aver visto il risultato...
59 Il p-value è anche detto livello di significatività osservato; per distinguerlo da questo, l’α precedentemente introdotto
è allora anche detto livello di significatività prescritto.
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