Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

La quantità 1 − β è poi detta la potenza del test; questa ovviamente è la probabilità di rifiutare H 0
quando questa ipotesi è falsa. Nella scelta di un test, si cerca di minimizzare la significatività α e
di massimizzarne la potenza; queste due esigenze sono contrastanti, pertanto occorre individuare un
punto di equilibrio. Dal momento che l’errore del I tipo è ritenuto più grave di quello del II tipo,
spesso prima si fissa α, e successivamente si cerca di individuare un test che massimizzi la potenza
(ovvero minimizzi β).
Un Esempio. Diversi test sono costruiti ricollegandosi alle stime intervallari; la regione critica è
spesso rappresentata da una o due code. Riprendiamo l’esempio già visto di una variabile aleatoria X
avente distribuzione normale di media µ incognita e varianza σ 2 nota. Poniamo Y n (ω, µ) := ( ¯X n (ω) −
µ) √ n/σ 56 mettendo in evidenza anche la dipendenza dall’incognita µ ∈ R. Come sappiamo, Y n (·, µ)
ha distribuzione normale standard. Fissato un valore µ 0 , consideriamo le ipotesi
H 0 : µ = µ 0 , H A : µ ≠ µ 0 , (7.7)
e fissiamo un livello di significatività α ∈ ]0, 1[. Per ogni β ∈ ]0, 1[, sia z β il quantile di ordine β della
distribuzione normale standard. Si noti che
P(|Y n (·, µ)| ≤ z 1−α/2 | H 0 ) = P(|Y n (·, µ 0 )| ≤ z 1−α/2 );
inoltre, in seguito a [B, p. 98], per ogni variabile aleatoria Z,
Pertanto
P(|Z| ≤ z 1−α/2 ) = P(Z ≤ z 1−α ) = 1 − α.
P(|Y n (·, µ)| > z 1−α/2 | H 0 ) = 1 − P(|Y n (·, µ 0 )| ≤ z 1−α/2 ) = 1 − (1 − α) = α.
Effettuato un campionamento 57 si respinge quindi l’ipotesi H 0 (ovvero si accetta l’ipotesi H A ) se
e solo se |Y n (ω, µ 0 )| > z 1−α/2 ; ovvero, posto ¯x n = ¯X n (ω),
si rifiuta H 0 al livello di significatività α ⇔
σ
µ 0 < ¯x n − z 1−α/2 √n σ
oppure µ 0 > ¯x n + z 1−α/2
√n .
(7.8)
Ad esempio per α = 0.05, z 1−α/2 = z 0.975 (≃ 1.96 [B, p. 134]); pertanto
si rifiuta H 0 al livello di significatività 0.05 ⇔
σ
µ 0 < ¯x n − z 0.975 √n σ
oppure µ 0 > ¯x n + z 0.975
√n .
(7.9)
La regione critica è quindi l’unione di due semirette:
] σ [ ]
σ [
C = − ∞, ¯x n − z 0.975 √n ∪ ¯x n + z 0.975 √n , +∞ .
Nel caso in cui la varianza non fosse stata nota, allora avremmo proceduto come abbiamo visto
alla fine del paragrafo precedente. Ovvero, avremmo sostituito la deviazione standard σ con la deviazione
standard campionaria s n , ed il quantile normale z 1−α/2 con il corrispondente quantile della
distribuzione t(n − 1) di Student (pure tabulato in [B, p. 135]). Quest’ultima quindi sarebbe stata la
nostra distribuzione pivotale.
Se la legge campionata non fosse stata normale, ma il campione fosse stato comunque abbastanza
ampio, grazie al teorema limite centrale avremmo potuto approssimare quella legge con una normale,
e quindi utilizzare la procedura testé descritta.
56 Questa non è una statistica. Tuttavia sostituiremo µ con un valore µ 0 ∈ R, ottenendo la statistica Y n(ω, µ 0).
57 Come sappiamo, nel formalismo probabilistico-statistico questo è rappresentato dalla scelta di un ω ∈ Ω.
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