Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

54 Analogamente, si mette un farmaco in commercio solo se si è convinti che esso sia efficace e non
dannoso, in modo da evitare danni al portafogli o alla salute. Una commissione ministeriale effettua
quindi un test in cui si assume come ipotesi H 0 “il farmaco è non efficace o è dannoso” (o anche
entrambe, naturalmente); di conseguenza H A è “il farmaco è efficace e non è dannoso” — e non
viceversa. Si potrebbe trattare analogamente il problema della validità di un progetto edilizio: le
varianti sono infinite.
Un test è considerato significativo solo se porta al rifiuto di H 0 ; in caso contrario è considerato
poco più che inutile. In questo senso, ad esempio, uscire assolti da un processo penale non significa
che si è ritenuti innocenti, ma semplicemente che le prove non sono state ritenute schiaccianti.
Assumeremo che l’ipotesi H 0 determini completamente la distribuzione di probabilità; in tal caso
si dice che l’ipotesi H 0 è semplice. Ad esempio, questo vale per H 0 : “θ = 1/2”, ma non per H A :
“θ < 1/2”. Questa limitazione ci permetterà di semplificare la trattazione.
Errori e Livello di Significatività. Ogni test può comportare due tipi di errore:
errore del I tipo:
errore del II tipo:
rifiutare H 0 quando H 0 è vera
(ovvero, accettare H A quando H A è falsa),
accettare H 0 quando H 0 è falsa
(ovvero, rifiutare H A quando H A è vera).
(7.4)
Per quanto detto, un errore del I tipo (ad esempio, condannare un innocente) è considerato più grave
di uno del II tipo, e la progettazione del test tiene conto dell’esigenza di ridurre per quanto possibile
tale rischio. A parità di ampiezza del campione, si può ridurre l’errore di un tipo solo aumentando
quello dell’altro tipo: occorre quindi giungere ad un punto di equilibrio tra queste due esigenze. Si
possono comunque ridurre entrambi gli errori aumentando l’ampiezza del campione; ma questo ha un
costo.
Occorre ora tradurre questi intenti in precisi concetti quantitativi. Allo scopo di contenere il rischio
di errore del I tipo, si fissa un livello di significatività α ∈ ]0, 1[, e si definisce la regione critica del
test in modo che la probabilità di commettere un errore del I tipo sia pari ad α, ovvero (usando la
probabilità condizionata)
α = P(errore del I tipo) (7.4)
= P(rifiutare H 0 | H 0 )
(7.2)
= P(U(X 1 , ..., X n ) ∈ C | H 0 ).
(7.5)
Più α è piccolo, più il test risulta significativo, poiché minore è la probabilità che H 0 venga
respinta, e quindi è più alto il contenuto di informazione dei dati quando ciò avviene. Si noti il
paradosso terminologico:
più il livello di significatività di un test è basso,
più il test è ritenuto significativo.
(Questa è la terminologia corrente ... sorry.) 55 In letteratura si definisce anche il seguente parametro:
β = P(errore del II tipo) (7.4)
= P(accettare H 0 | H A )
(7.2)
= P(U(X 1 , ..., X n ) ∉ C | H A ).
(7.6)
54 Un saldo principio giuridico prescrive appunto che ogni imputato sia da considerare innocente fino a prova contraria.
Nelle aule dei tribunali il giudizio su un imputato non è mai affidato ad un test. Tuttavia l’analogia è senz’altro
calzante, ed aiuta a comprendere l’asimmetria delle due ipotesi alla base dei test.
55 Per le stime intervallari si parla di livello di confidenza 1 − α, mentre per i test si usa il livello di significatività α. Si
noti che in entrambi i casi α è scelto il più piccolo possibile. Malgrado le analogie, i due concetti vanno comunque ben
distinti.
Come gà osservato per il livello di confidenza, il livello di significatività non è una probabilità. L’ipotesi H 0 è vera o
falsa, ad essa quindi non può essere associata alcuna probabilità.
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