Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

Stima della media con varianza nota: distribuzioni pivotale N(0, 1), cf. (6.24).
Stima della media con varianza incognita: distribuzioni pivotale t(n − 1), cf. (6.26).
Stima della varianza con media nota: distribuzioni pivotale χ(n), cf. (6.28).
Stima della varianza con media incognita: distribuzioni pivotale χ(n − 1), cf. (6.30).
7 • Verifica di Ipotesi
Parole chiave: Ipotesi nulla ed alternativa. Tipi di errore. Significatività. p-value.
Ipotesi e Regione Critica. La verifica di ipotesi è un altro classico problema di statistica inferenziale.
Tale verifica consiste
nello stabilire non se una data ipotesi è vera,
ma se è compatibile con i dati a disposizione.
(7.1)
La corrispondente procedura è denominata un test; questo sfocia nella decisione di accettare o meno
l’ipotesi data; Questo rientra in quella che è anche detta teoria della decisione.
La progettazione di un test si fonda sui seguenti passi:
(i) la formulazione di un’ipotesi di partenza, detta ipotesi nulla, riguardante la distribuzione di
probabilità di una variabile aleatoria (scalare o vettoriale). La sua negazione è denominata ipotesi
alternativa. Indicheremo le due ipotesi rispettivamente con H 0 e H A ; 52
(ii) l’individuazione di un’opportuna statistica campionaria U, detta la statistica del test; (o
statistica-test);
(iii) la determinazione di una regione critica C, ovvero di un insieme di valori che può assumere
T , in base al quale si perviene alla seguente regola di decisione:
si rifiuta H 0 se U(X 1 , ..., X n ) ∈ C,
si accetta H 0 se U(X 1 , ..., X n ) ∉ C.
(7.2)
(La regione di accettazione è quindi il complementare in Ω della regione critica C.)
Questo significa che, effettuato un campionamento, ovvero scelto un ω ∈ Ω,
si rifiuta H 0 se U(X 1 (ω), ..., X n (ω)) ∈ C,
si accetta H 0 se U(X 1 (ω), ..., X n (ω)) ∉ C.
(7.3)
Anche se dal punto di vista formale le ipotesi H 0 e H A giocano ruoli simmetrici, in realtà tra di esse
sussiste una fondamentale differenza concettuale. Si effettua un test solo se si ha motivo di ritenere
che l’ipotesi H 0 possa essere contraddetta dai fatti. Infatti, se il campione non smentirà nettamente
H 0 , non si giungerà ad alcuna conclusione statisticamente significativa. 53 Questo ovviamente richiede
una certa cura nella formulazione dell’ipotesi H 0 da testare.
Ad esempio, in un sistema penale garantista, si processa qualcuno solo se ci sono dei forti motivi
per ritenere che possa essere colpevole (non si pesca uno a caso e gli si dice “adesso dimostrami di
non essere colpevole”). Almeno in linea di principio, si condanna un imputato solo se le prove a lui
avverse sono schiaccianti — aldilà di ogni ragionevole dubbio, come si usa dire. Quindi l’ipotesi H 0
sarà “l’imputato è innocente”, e di conseguenza H A sarà “l’imputato è colpevole” — e non viceversa.
52 Con riferimento alle ipotesi del test, si distingue tra test parametrici e test non parametrici. Nei primi l’ipotesi H 0
riguarda uno o più valori della distribuzione di probabilità; ad esempio la sua media e/o la sua varianza. Nei secondi
H 0 riguarda altre proprietà della distribuzione; ad esempio, la distribuzione è normale? (nel caso di una distribuzione
vettoriale) sono le sue componenti indipendenti? ecc..
53 In tal caso sarebbe pertanto più preciso dire che “non si rifiuta H 0”, e non che “si accetta H A”. Questa è solo una
sfumatura, ma coglie il senso del discorso.
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