Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

Questo significa che, osservato un campione (x 1 , ..., x n ) = (X 1 (ω), ..., X n (ω)) e posto ¯x n := 1 n
∑ ni=1
x i ,
50 siamo confidenti allo 1 − α (ovvero al 100(1 − α)%...) che valga la seguente stima bilatera per la
media µ: 51
¯x n − z 1−α/2
σ √n < µ < ¯x n + z 1−α/2
σ √n ovvero |µ − ¯x n | < z 1−α/2
σ √n . (6.25)
Ad esempio, per α = 0.05 dalle tavole dei quantili della distribuzione normale standard [B, p. 134]
ricaviamo che il quantile 1 − α/2 = 0.975 vale circa 1.96, ovvero z 0.975 ≃ 1.96.
In seguito al Teorema Limite Centrale, questo risultato si applica anche se la variabile aleatoria X
non ha distribuzione normale, purché il campione sia sufficientemente ampio: più ampio è il campione,
migliore è l’approssimazione.
Se la varianza di X non fosse stata nota, avremmo sostituito la deviazione standard σ con la
deviazione standard campionaria s n , e la distribuzione t(n − 1) di Student sarebbe stata la nostra
distribuzione pivotale. Avremmo quindi dovuto sostituire il quantile normale standard z 1−α/2 con il
corrispondente quantile t 1−α/2,n−1 di Student (pure tabulato in [B, p. 135]):
( s n
P ¯Xn − t 1−α/2,n−1 √ < µ < ¯X n + t n 1−α/2,n−1
s n
√ n
)
= 1 − α. (6.26)
Stime della Varianza. Sia (X 1 , ..., X n ) un campione aleatorio avente distribuzione normale di media
µ nota; vogliamo stimarne la varianza. Posto ancora Z i := (X i − µ)/σ ∼ N(0, 1), otteniamo
1
σ 2
Fissiamo un livello di confidenza 1 − α.
distribuzione χ 2 (n), abbiamo allora
ovvero
∑ n n∑
(X i − µ) 2 = Zi
2
i=1
i=1
(6.21)
∼ χ 2 (n). (6.27)
Denotando ρ α,n (≥ 0) il quantile di ordine α della
P
(ρ α/2,n < 1 ∑ n )
σ 2 (X i − µ) 2 < ρ 1−α/2,n = 1 − α,
i=1
( ∑ n
P i=1 (X i − µ) 2 ∑ ni=1
< σ 2 (X i − µ) 2 )
<
= 1 − α. (6.28)
ρ 1−α/2,n ρ α/2,n
Ovviamente questa stima può anche essere espressa in termini della varianza campionaria (con media
nota), ovvero di 1 n
∑ ni=1
(X i − µ) 2 .
In seguito al Teorema Limite Centrale, questo risultato si applica anche se la variabile aleatoria X
non ha distribuzione normale, purché il campione sia sufficientemente ampio.
Se la media µ di X non fosse stata nota, l’avremmo sostituita con la media campionaria ¯X n nella
(6.27), perdendo un grado di libertà. Il teorema di Cochran avrebbe infatti fornito
e quindi
( (n − 1)s
2 ) n 1 ∑ n
σ 2 =
σ 2 (X i − ¯X n ) 2 (6.23)
∼ χ 2 (n − 1), (6.29)
i=1
( ∑ n
P i=1 (X i − ¯X n ) 2 ∑ ni=1
< σ 2 (X i −
<
¯X n ) 2 )
= 1 − α. (6.30)
ρ 1−α/2,n−1 ρ α/2,n−1
Sintesi. Riassumendo, queste sono le distribuzioni pivotali che abbiamo utilizzato per stimare la
media o la varianza di un campione normale, oppure di un campione tanto ampio da consentire l’uso
del Teorema Limite Centrale:
50 Solitamente si usano lettere maiuscole per indicare le variabili aleatorie, e quelle minuscole per rappresentare i
corrispondenti campionamenti. Quindi ad esempio i valori assunti dalla variabile aleatoria X sono indicati con x.
51 Con scrittura più ingegneristica che matematica, qualcuno scriverebbe µ = ¯x n ± z 1−α/2 σ/ √ n.
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