Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

valga tale uguaglianza. Di solito si scelgono θ 1 , θ 2 in modo tale che le due code abbiano area uguale,
ovvero
P θ (θ ≤ θ 1 ) = P θ (θ 2 ≤ θ) = α/2;
quindi θ 1 = −θ 2 se la distribuzione è simmetrica.
Nel caso di una stima unilatera (ad esempio destra) si individua una statistica θ 1 : R n → R tale
che
P θ (θ 1 (X 1 , ..., X n ) < θ) = 1 − α. (6.20)
Questo corrisponde al taglio di una sola coda, ovvero ] − ∞, θ 1 (X 1 , ..., X n )]. L’intervallo di confidenza
unilatero sinistro (o destro) è ovviamente unico.
Più è piccolo l’intervallo di confidenza, maggiore è la precisione della stima. Pertanto precisione
e confidenza sono esigenze contrapposte. In linea di massima, si possono migliorare entrambe
aumentando l’ampiezza del campione — un’operazione che in generale ha un costo.
Distribuzione Pivotale, Distribuzione del χ 2 e Teorema di Cochran. Per la costruzione della
stima intervallare di solito si usa una variabile aleatoria la cui distribuzione sia nota (tabulata oppure
calcolabile al computer); questa è detta la distribuzione pivotale della stima. Nel seguente esempio
questo ruolo sarà svolto dalla distribuzione normale standard N(0, 1).
Nel successivo esempio utilizzeremo invece la legge del χ 2 (n) 49 per n intero ≥ 1. Questa distribuzione
è definita come segue:
se {Z 1 , ..., Z n } è un campione aleatorio avente legge N(0, 1), allora
n∑
Zi 2 ∼ χ 2 (n). (6.21)
i=1
Quindi, se {X 1 , ..., X n } è un campione aleatorio avente legge N(µ, σ 2 ), standardizzando le variabili
X i ed applicando la (6.21) si ottiene
1
σ 2
n ∑
i=1
(X i − µ) 2 ∼ χ 2 (n). (6.22)
Se la media µ non è nota, la si può sostituire con la media campionaria ¯X n , a prezzo di perdere un
grado di libertà. Il Teorema di Cochran infatti afferma che, per ogni campione aleatorio {X 1 , ..., X n }
avente legge normale di varianza σ 2 , ponendo come al solito ¯X n := 1 n
∑ ni=1
X i ,
1
σ 2
n ∑
i=1
(X i − ¯X n ) 2 ∼ χ 2 (n − 1) ∀n. (6.23)
Stime della Media. Sia (X 1 , ..., X n ) un campione aleatorio avente legge normale con varianza σ 2
nota; vogliamo stimarne la media µ. La variabile aleatoria Y n := ( ¯X n − µ) √ n/σ (che, detto tra
parentesi, non è una statistica) ha allora distribuzione normale standard. Fissiamo un livello di
confidenza 1 − α; valori tipici sono α = 0.05, oppure α = 0.01, o anche α = 0.001. Denotando con z
la funzione dei quantili della distribuzione normale standard, abbiamo
P(−z 1−α/2 < Y n < z 1−α/2 ) = 1 − α,
ovvero
( σ
P ¯Xn − z 1−α/2 √n < µ < ¯X σ )
n + z 1−α/2 √n = 1 − α. (6.24)
49 Si legge: chi quadro ad n gradi di libertà. I quantili di questa importante distribuzione sono tabulati da diversi testi,
ma non dal [B].
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