Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

• Due Modi di Sommare. Sia {x i } i=1,...,N un campione di dati numerici, ovvero un insieme di
numeri x i ∈ R con i = 1, ..., N. Siano {z j } j=1,...,M le corrispondenti modalità, ovvero i valori assunti
dal complesso delle x i . Si noti che M ≤ N, poiché diversi elementi del campione possono assumere la
stessa modalità: e.g. 4 x 2 = x 5 . Sia f una funzione R → R. Si possono sommare gli f(x i ) rispetto
agli elementi del campione (ovvero gli i), oppure rispetto alle modalità, dopo aver sostituito gli f(x i )
con gli {f(z j ), pesati con i rispettivi effettivi. 5 Più esplicitamente, posto
α j = {i : x i = z j }, N j = #α j per j = 1, ..., M (1.1)
(N j è il numero di elementi che costituiscono α j , ovvero l’effettivo della modalità z j ), abbiamo
N∑
M∑ ∑
M∑ ∑
M∑
f(x i ) = f(x i ) = f(z j ) = N j f(z j ). (1.2)
i=1
j=1 i∈α j j=1 i∈α j j=1
In particolare, definita la proporzione (o frequenza relativa) q j := N j /N per j = 1, ..., M,
ed anche, si veda il calcolo di [B, p. 7],
¯x := 1 N
∑ Ni=1
x i = ∑ M
j=1 q j z j , (1.3)
σ 2 x := 1 N
∑ Ni=1
(x i − ¯x) 2 = ∑ M
j=1 q j (z j − ¯x) 2 ; (1.4)
( 1
σx 2 =
N
N∑
x 2 i
i=1
) (
− ¯x 2 ∑ M )
= q j zj
2 − ¯x 2 . (1.5)
j=1
Si noti che, poiché le proporzioni q j sono ≥ 0 ed hanno somma 1, esse sono la densità di una
distribuzione di probabilità.
Consideriamo ora il caso di due campioni numerici X = {x i } i=1,...,N e Y = {y l } j=l,...,P , con
rispettive modalità {z j } j=1,...,M e {w m } m=1,...,Q . Abbiamo anche le modalità congiunte
{(z j , w m ) : j = 1, ..., M, m = 1, ..., Q},
che hanno effettivi L jm e frequenze relative congiunte q jm :
L jm = #{(i, l) : (x i , y l ) = (z j , w m )},
q jm = L jm
NP
In modo analogo a sopra si può rappresentare la covarianza del campione
σ xy := 1
NP
o anche, sviluppando il prodotto,
σ xy =
per j = 1, ..., M, m = 1, ..., Q.
N∑ P∑
M∑ Q∑
(x i − ¯x) (y l − ȳ) = q jm (z j − ¯x) (w m − ȳ); (1.6)
i=1 l=1
j=1 m=1
( 1
NP
N∑ P∑
) (
∑ M Q∑
)
x i y l − ¯xȳ = q jm z j w m − ¯xȳ. (1.7)
i=1 l=1
j=1 m=1
Anche in questo caso le proporzioni q jm sono la densità di una distribuzione di probabilità.
Se i due campioni coincidono (ovvero Y = X), ritroviamo la varianza del campione: σ xx = σ 2 x.
4 e.g.: exempli gratia = ad esempio.
5 Qui ed altrove si usa la terminologia del [B].
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