Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

Come si vede, lo stimatore T 2 è consistente in media quadratica. Per contro T 1 non è consistente in
media quadratica. Lo stimatore T 2 è pertanto da preferirsi a T 1 , come peraltro si poteva ben intuire.
Ci chiediamo ora se vi sia uno stimatore di massima verosimiglianza per θ. La densità discreta di
X ∼ Ber(θ) vale
{
θ se x = 1
p X (x|θ) =
∀θ ∈ [0, 1], (6.17)
1 − θ se x = 0
ovvero
Pertanto, osservando che x 1 + ... + x n = n ¯X n ,
L(θ; x 1 , ..., x n ) =
p X (x|θ) = θ x (1 − θ) 1−x per x ∈ {0, 1}, ∀θ ∈ [0, 1]. (6.18)
∏
i=1,...,n
ovvero, passando ai logaritmi,
p X (x i |θ) = θ x 1
(1 − θ) 1−x1 · · · θ xn (1 − θ) 1−xn = θ n ¯X n
(1 − θ) n−n ¯X n
,
log L(θ; x 1 , ..., x n ) = n ¯X n log θ + n(1 − ¯X n ) log(1 − θ) ∀θ ∈ [0, 1].
Lo stimatore di massima verosimiglianza T = T (X 1 , ..., X n ), se esiste, deve soddisfare l’equazione
(6.14):
n ¯X n
T − n(1 − ¯X n )
= 0,
1 − T
e questa ha soluzione T = ¯X n . Possiamo concludere che questo è uno stimatore di massima verosimiglianza.
Stime Intervallari. Data una distribuzione di probabilità dipendente da un parametro scalare θ ∈ R
incognito, invece di attribuire a θ un valore, possiamo cercare un intervallo [a, b] ⊂ R per il quale si
possa confidare che contenga θ. In alternativa all’intervallo ]a, b[, possiamo determinare una semiretta
]−∞, a[ oppure ]b, +∞[: si parla allora rispettivamente di stima bilatera, stima unilatera sinistra, stima
unilatera destra. 46 (Potremmo riunire questi tre casi in uno solo della forma ]a, b[, se consentissimo
ad a, b di assumere anche i valori ±∞.)
Fissiamo un α ∈ ]0, 1[ (tipicamente α = 0.05, o anche α = 0.01, o più raramente α = 0.001), 47 ed
un intero n, che rappresenterà l’ampiezza del campione. Nel caso della stima bilatera, si dice che due
statistiche θ 1 , θ 2 : R n → R definiscono una stima intervallare ]θ 1 (X 1 , ..., X n ), θ 2 (X 1 , ..., X n )[ per θ al
livello di confidenza 1 − α se
P θ (θ 1 (X 1 , ..., X n ) < θ < θ 2 (X 1 , ..., X n )) = 1 − α. (6.19)
Questo corrisponde al taglio di due code, ovvero di ] − ∞, θ 1 (X 1 , ..., X n )] ∪ [θ 2 (X 1 , ..., X n ), +∞[.
Questo significa che, se si potesse ripetere un gran numero di volte il campionamento (x 1 , ..., x n )
che ha dato luogo alla stima intervallare, la percentuale dei casi in cui θ 1 (x 1 , ..., x n ) < θ < θ 2 (x 1 , ..., x n )
dovrebbe essere vicina a 1 − α. Si usa allora dire che 48
θ 1 (X 1 , ..., X n ) < θ < θ 2 (X 1 , ..., X n ) con livello di confidenza 1 − α.
Si vede facilmente che, per ogni livello di confidenza 1 − α, esistono infinite statistiche θ 1 , θ 2 tali
che P θ (θ 1 < θ < θ 2 ) = 1 − α. Infatti, per ogni θ 1 ∈ R abbastanza piccolo, esiste un θ 2 ∈ R tale che
46 Le stime bilatere sono anche dette a due code, e quelle unilatere ad una coda, per ovvi motivi.
47 Tradizionalmente, si preferisce usare la notazione 1 − α con α piccolo, piuttosto che l’equivalente β = 1 − α con β
vicino a 1.
48 Perché usiamo il termine “livello di confidenza” piuttosto che quello di probabilità? Perché, θ non è una variabile
aleatoria, in quanto Θ non è stato dotato di una misura di probabilità. Una volta eseguito il campionamento (ovvero
fissato un ω ∈ Ω e trovato x 1 = X 1(ω), ..., x n = X n(ω)), risulta determinato ¯θ i(ω) := θ i(x 1, ..., x n) per i = 1, 2; quindi
{¯θ 1(ω) < θ < ¯θ 2(ω)} non è un evento. Pertanto non ha senso scrivere P θ (¯θ 1(ω) < θ < ¯θ 2(ω)) per un ω fissato.
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