Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

modelli statistici alternativi, ciascuno con la sua distribuzione di probabilità. Sappiamo però che A 5
ha poi vinto la lotteria. Si chiede di individuare la distribuzione di probabilità più verosimile, ovvero
di congetturare chi possa essere stato il superacquirente. Mostreremo che è ragionevole rispondere che
costui sia A 5 , ovvero il vincitore.
Si noti la differenza tra:
(i) il problema probabilistico di calcolare le probabilità di vittoria di ciascun partecipante, sapendo
quale è il superacquirente,
(ii) il problema statistico di individuare il superacquirente, sapendo chi ha vinto la lotteria.
Entrambi i problemi ammettono una soluzione rigorosa, che però fornisce solo un risultato probabilistico,
ovvero fornisce un risultato espresso in termini di probabilità.
Ciascuno dei 10 partecipanti A 1 , ..., A 10 può essere il superacquirente. In modo più formale, posto
Θ := {1, ..., 10}, ad ogni θ ∈ Θ associamo il modello statistico M θ : “A θ ha acquistato 11 biglietti, gli
altri ne hanno acquistati 9”. Ciascun M θ individua la distribuzione di probabilità definita come segue:
posto p(i|θ) := “probabilità di vittoria di A i condizionata dal fatto che A θ sia il superacquirente”,
p(i|θ) = 11/20 per i = θ, p(i|θ) = 1/20 per i ≠ θ. (6.15)
(Si noti che la dipendenza dal parametro θ è rappresentata usando la notazione tipica del condizionamento
probabilistico.) La funzione di verosimiglianza L(θ, i) := p(i|θ) è quindi
L(θ, i) = 11/20 per θ = i, L(θ, i) = 1/20 per θ ≠ i. (6.16)
Pertanto L(·, i) è massimizzata per θ = i, ovvero attribuendo l’acquisto di 11 biglietti al vincitore. 44
Quanto è plausibile questa conclusione? Si noti che essa non dipende dal numero di biglietti acquistati
dall’ignoto superacquirente: possiamo sostituire 11 con 100 o con 2, il risultato non cambia, anche
se la conclusione è molto più plausibile nel primo caso che nel secondo. Infatti, se il superacquirente
ha acquistato 100 biglietti, è alquanto verosimile che sia lui vincitore. Se invece ne ha acquistati solo
2, è più verosimile che il vincitore sia uno degli altri 9. Tuttavia, dovendo indicare il superacquirente,
non si può rispondere “uno qualsiasi dei non vincitori”: dobbiamo sceglierne uno! Ed allora la scelta
più ragionevole cade proprio sul vincitore (anche se è proprio quello che avremmo voluto escludere!)
Un Altro Esempio. Si consideri una moneta che ignoriamo se sia equilibrata o meno; al fine di
stabilirlo, 45 lanciamo la moneta n volte. L’esito del lancio i-esimo è una variabile aleatoria X avente
distribuzione di Bernoulli Ber(θ), con θ ∈ Θ := [0, 1]:
X = 1 se viene testa, X = 0 se viene croce.
L’esito degli n lanci è quindi rappresentato da un campione aleatorio (X 1 , ..., X n ).
Possiamo stimare θ mediante l’esito del primo lancio, X 1 , o più astutamente mediante la media
campionaria ¯X n := 1 ∑ ni=1
n
X i . Sia T 1 (X 1 , ..., X n ) := X 1 che T 2 (X 1 , ..., X n ) := ¯X n sono statistiche (che
indicheremo brevemente con T 1 e T 2 ), poichè sono variabili aleatorie che dipendono solo da X 1 , ..., X n
(e non da θ); possono essere considerate degli stimatori di θ, ovvero della speranza della variabili
aleatorie X (∼Ber(θ)). Effettuare i lanci corrisponde a fissare un ω ∈ Ω. I valori ottenuti X 1 (ω) e
¯X n (ω) sono quindi stime di θ.
Gli stimatori T 1 che T 2 sono non distorti. Gli errori quadratici medi coincidono quindi con le
rispettive varianze, che sono diverse:
Var θ (T 1 ) = θ(1 − θ), Var θ (T 2 ) (3.18)
= 1 n Var θ(X 1 ) = 1 θ(1 − θ).
n
44 Si noti la presenza di due diversi punti di vista. Dal punto di vista probabilistico, si suppone θ nota e I variabile; si
usa quindi la distribuzione di probabilità data dalla (6.15). Dal punto di vista statistico, invece si suppone I nota e θ
incognita; entra quindi in gioco la funzione di verosimiglianza (6.16).
45 o meglio, al fine di congetturarlo. In statistica non si perviene ad alcuna certezza circa i modelli probabilistici, pur
essendo le conclusioni precise e rigorose.
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