Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

La varianza (supposta finita) di una variabile aleatoria X di cui sia nota la speranza µ := E θ (X)
(necessariamente finita) potrà essere stimata dalla varianza campionaria
T 2 (X 1 , .., X n ) := 1 n∑
(X i − µ) 2 = 1 n∑
Xi 2 − µ 2 . (6.5)
n
n
i=1
i=1
Si verifica immediatamente che anche questo stimatore è corretto.
Se invece la speranza E θ (X) non è nota, non si può stimare la varianza di X mediante l’analoga
variabile aleatoria 1 ∑
n i [X i − E θ ( ¯X n )] 2 (= 1 ∑
n i [X i − E θ (X)] 2 ), per il semplice motivo che questa
dipende anche da θ, e quindi non è una statistica. Sembra allora naturale sostituire nell’ultima
formula E θ (X) con il suo stimatore ¯X n , e quindi stimare la varianza di X mediante lo stimatore
˜T 2 (X 1 , .., X n ) := 1 n∑
(
(X i −
n
¯X n ) 2 = 1 n∑
Xi 2 − (
n
¯X n )
). 2 (6.6)
i=1
i=1
Questa è una statistica, quindi è uno stimatore della varianza di X; tuttavia non è il migliore stimatore.
Un semplice conto [B, p. 127-8] mostra infatti che
E θ ( ˜T 2 ) = n − 1
n Var θ(X); (6.7)
lo stimatore ˜T 2 quindi non è corretto (comunque è asintoticamente corretto). Lo stimatore
¯s 2 n := 1
n − 1
n∑
(
(X i − ¯X n ) 2 ≠ 1 n∑
)
Xi 2 − (
n − 1
¯X n ) 2
i=1
i=1
(6.8)
invece è uno stimatore corretto della varianza di X, poiché la (6.7) fornisce E θ (¯s 2 n) = Var θ (X).
La notazione ¯s 2 n è standard. Questo stimatore è solitamente denominato varianza campionaria;
col rischio di creare dei fraintendimenti poiché lo stesso termine è usato per la T 2 (che si può usare solo
se è nota la speranza), e ahimè anche per la varianza campionaria introdotta in statistica descrittiva
(che si scrive come la ˜T 2 [B, p. 7] ).
Si può mostrare che
gli stimatori ¯Xn (della speranza) e ¯s 2 n (della varianza)
sono di varianza minima tra gli stimatori corretti,
e sono consistenti in media quadratica.
(6.9)
La verifica che ¯X n è uno stimatore (della speranza) consistente in media quadratica è immediata.
Legge di Student. 39 La statistica ¯s 2 n ha un’importante applicazione, che ora illustriamo.
Se {X 1 , .., X n } è un campione aleatorio avente legge normale N(µ, σ 2 ), allora si verifica immediatamente
che
Z n := ¯X n − µ
σ/ √ n ∼ N(0, 1) (ovvero Z n è la standardizzata di ¯Xn ). (6.10)
In seguito al teorema limite centrale, questo è approssimativamente valido anche per una vasta classe
di altre leggi, se n è abbastanza grande. Come mostrato da [B, p. 126-7], questo permette di stimare
la media µ, se la deviazione standard σ è nota.
39 Questa legge fu proposta nel 1908 da W.S. Gosset, in un articolo che firmò con lo pseudonimo di Student (non si
capisce bene cosa c’entrino gli studenti...). Infatti a quei tempi Gosset lavorava come statistico per la nota marca di
birra Guinness, e per motivi contrattuali non poteva pubblicare a suo nome sui giornali scientifici.
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