Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

Θ → R, si dice stimatore di f(θ) una statistica che serve a stimare f(θ). Per indicare uno stimatore di
un parametro incognito θ si usa anche la notazione ̂θ. Quando alle variabili aleatorie che costituiscono
il campione sostituiamo i valori osservati (ovvero effettuiamo un campionamento, che è rappresentato
dalla scelta di un ω ∈ Ω), lo stimatore di un parametro incognito θ diventa una stima (di quel
parametro incognito). Quindi uno stimatore è una variabile aleatoria, mentre le stime sono i valori
che esso assume in seguito ai diversi campionamenti.
Introduciamo ora alcune delle principali proprietà che uno stimatore può avere o meno. Se T =
T (X 1 , ..., X n ) è uno stimatore di un parametro incognito θ,
E θ (T (X 1 , ..., X n )) − θ è detta distorsione di T ,
E θ [(T (X 1 , ..., X n ) − θ) 2 ] è detto
errore quadratico medio o rischio quadratico di T .
(6.1)
Si noti che queste due quantità sono funzioni di θ ∈ Θ; il campione aleatorio invece è fissato (sono
fissate le variabili X 1 , ..., X n , non i loro valori!) .
Uno stimatore T di θ è detto
corretto (o non distorto) se E θ [T (X 1 , ..., X n )] = θ ∀n, ∀θ ∈ Θ,
asintoticamente corretto se E θ [T (X 1 , ..., X n )] → θ per n → ∞, ∀θ ∈ Θ,
consistente in media quadratica se E θ [(T (X 1 , ..., X n ) − θ) 2 ] → 0 per n → ∞, ∀θ ∈ Θ.
(6.2)
Si intende che ciascuna di queste condizioni è richiesta per ogni campione (X 1 , ..., X n , ...).
Errore Quadratico Medio = Varianza + Distorsione 2 . Ponendo ¯T := E θ (T ) abbiamo
E θ [(T − θ) 2 ] = E θ [({T − ¯T } + { ¯T − θ}) 2 ]
= E θ [(T − ¯T ) 2 ] + E θ [( ¯T − θ) 2 ] + 2E θ [(T − ¯T )( ¯T − θ)]
= Var θ (T ) + [E θ (T − θ)] 2 .
(6.3)
(La speranza del doppio prodotto si annulla perchè, dal momento che ¯T − θ non dipende da ω,
Quindi
E θ [(T − ¯T )( ¯T − θ)] = E θ [(T − ¯T )] ( ¯T − θ) = 0.)
errore quadratico medio = varianza + distorsione 2 ,
errore quadratico medio = varianza,
se lo stimatore è corretto.
In generale uno stimatore corretto è preferibile ad uno distorto; tuttavia vi sono anche degli utili
stimatori distorti. La minimizzazione dell’errore quadratico medio è un buon criterio di scelta tra
gli stimatori. Ad esempio, un’importante classe di stimatori è costituita da quelli che minimizzano
l’errore quadratico medio (ovvero la varianza ) tra tutti gli stimatori corretti. In altri termini, uno
stimatore corretto T di θ appartiene a questa classe se solo se la sua varianza è minore di quella di
ogni altro stimatore corretto di θ.
Metodo dei Momenti. Questo semplicemente consiste nell’utilizzare i momenti campionari per
stimare certe quantità che dipendono dal parametro θ. Tipicamente questo si applica quando tali
quantità sono proprio i momenti di una legge, che dipendono dal parametro θ. Più in generale, se θ è
un vettore N dimensionale, si calcolano N momenti campionari, e li si pone uguali ai corrispondenti
momenti della legge, che appunto dipendono da θ. Si ottiene così un sistema di N equazioni in N
incognite; la sua soluzione (se esiste) fornisce i parametri incogniti.
Ad esempio, se X è una variabile aleatoria, la sua speranza E θ (X) (supposta finita) potrà essere
convenientemente stimata dalla media campionaria ¯X n := 1 ∑
n i X i, essendo {X 1 , .., X n } un campione
aleatorio avente la stessa distribuzione di X. Poiché E θ ( ¯X n ) := 1 ∑
n i E θ(X i ) = E θ (X), questo
stimatore è corretto.
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(6.4)