Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

T δ := Xδ. Facciamo ora tendere sia p che δ a zero, tenendo fisso il loro rapporto: λ := p/δ = costante.
Ricordando il limite notevole lim δ→0 (1 − λδ) −1/(λδ) = e, otteniamo
P(T δ > t) = P(Xδ > kδ) = P(X > k) = (1 − p) k = (1 − λδ) t/δ
= [(1 − λδ) −1/(λδ) ] −λt → e −λt per δ → 0, ∀t > 0;
(5.16)
d’altra parte per una variabile aleatoria T 0 avente distribuzione esponenziale Exp(λ), P(T 0 > t) =
e −λt . Abbiamo così visto che T δ → T in legge, con T ∼ Exp(λ). Ponendo δ = 1/n e X n = T δ /δ per
ogni n ∈ N e quindi passando al limite per n → ∞, possiamo concludere che
X n ∼ G(λ/n) ⇒ X n
n
→ T in legge, con T ∼ Exp(λ). (5.17)
Questo significa che, per uno schema di Bernoulli in cui un evento di probabilità p molto piccola
viene ripetuto ad intervalli temporali δ molto brevi, il tempo di attesa del primo successo (che ha
distribuzione geometrica) può essere approssimato da una distribuzione esponenziale con parametro
λ = p/δ. Questo risultato non è sorprendente, essendo entrambe le distribuzioni prive di memoria.
There are three kind of lies: lies, damned lies, and statistics.
(Disraeli)
Statistical thinking will one day be as necessary
for efficient citizenship as the ability to read and write.
(H.G. Wells)
6 • Stima di Parametri
Parole chiave: Stimatori e stime puntuali. Metodo dei momenti. Legge di Student. Stimatori di
massima verosimiglianza. Stime intervallari. Confidenza.
Consideriamo uno spazio di probabilità che dipende da un parametro incognito θ appartenente
ad un insieme Θ. (In alternativa, una famiglia di leggi di probabilità parametrizzate da θ ∈ Θ,
che comunque definisce uno spazio di probabilità su R.) Un tipico problema statistico consiste nella
valutazione di θ (oppure di una funzione di θ) tramite la ripetizione di un esperimento aleatorio. Questa
procedura è rappresentata da un campione aleatorio di ampiezza n ∈ N, ovvero da una famiglia di
n variabili aleatorie indipendenti equidistribuite: X 1 , ..., X n . L’esperimento può dar luogo ad esiti
diversi; ciascun risultato è rappresentato dalla scelta di un valore di ω ∈ Ω, e quindi da una delle n-ple
di valori che possono essere assunte da questa famiglia di n variabili aleatorie.
Stimatori. Si distinguono stime puntuali e stime intervallari; le prime forniscono degli scalari o dei
vettori, le seconde degli intervalli o dei prodotti cartesiani di intervalli. Incominciamo con considerare
le stime puntuali. Poiché la misura di probabilità P dipende dal parametro incognito θ ∈ Θ, si tratta
di una probabilità condizionata. La speranza e per la varianza dipendono dalla misura di probabilità,
e quindi dal parametro incognito θ ∈ Θ. Metteremo in evidenza questa dipendenza scrivendo P θ , E θ
e Var θ invece di P, E e Var.
Si dice statistica campionaria (o più semplicemente statistica) una funzione delle variabili aleatorie
X 1 , ..., X n che costituiscono il campione, che non dipende da alcun ulteriore parametro; ovvero una
funzione T (X 1 , ..., X n ) ove T : R n → R, se il campione ha ampiezza n. 38 Quindi T (X 1 , ..., X n ) è una
variabile aleatoria; a volte per brevità scriveremo T al posto di T (X 1 , ..., X n ).
Si dice stimatore (puntuale) di un parametro scalare θ incognito una statistica (ovvero una funzione
di X 1 , ..., X n ) che serve a stimare (ovvero, a congetturare) θ. Più in generale, se f è una funzione
38 In effetti si tratta di una famiglia di funzioni: una funzione per ciascun n.
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