Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

questa è una forma indeterminata del tipo 0 0
(nel senso della convergenza in probabilità). Il TLC
sostanzialmente afferma che
¯X n − µ ≃ √ σ Y con Y ∼ N(0, 1), per n → ∞, (5.11)
n
nel senso della convergenza in legge. Grazie alla (5.5), per n abbastanza grande quindi abbiamo
P(| ¯X n − µ| ≤ c) = F |S ∗ n |
( √ n c
σ
)
≃ F |Y |
( √ n c
σ
) ( √ n c)
= 2F Y − 1 ∀c > 0; (5.12)
σ
ovvero
P(| ¯X
( √ n c) ( √ n c)
n − µ| ≥ c) = 1 − F |S ∗ n | ≃ 2 − 2F Y ∀c > 0, (5.13)
σ
σ
F Y è la funzione di ripartizione della distribuzione normale standard, che si trova tabulata.
Quest’ultima formula può essere confrontata con la (3.21):
P(| ¯X n − µ| ≥ c) ≤ nσ2
c 2 ∀c > 0.
∗ Il Teorema di Berry-Esseen. Assodato che F S ∗ n
→ F Y (vedi (5.8)) resta da valutare la velocità
di questa convergenza. Sotto le ipotesi del TLC, si può dimostrare (teorema di Berry-Esseen) che, se
E(|X i | 3 ) < +∞, allora esiste una costante C > 0 tale che
(
∣
¯Xn − µ )
sup ∣P
σ/ √ n ≤ y − P(Y ≤ y) ∣ ≤ C E(|X i| 3 )
σ 3 √ n . (5.14)
y∈R
Si noti che, dato un campione aleatorio, il TGN fornisce una successione (la ¯X n ) che converge in
probabilità alla speranza µ; questo può essere considerato come uno sviluppo arrestato al momento
del primo ordine: la speranza, appunto. La (3.21) maggiora l’errore di quest’ultimo sviluppo mediante
il momento del secondo ordine: la varianza σ 2 .
Analogamente, il TLC esibisce uno sviluppo fino al momento del secondo ordine, che compare
attraverso la σ; si veda la (5.6), che va intesa nel senso della convergenza in legge. Il teorema di
Berry-Esseen maggiora poi l’errore di quest’ultimo sviluppo mediante il momento del terzo ordine,
E(|X i | 3 ). Si può notare una certa analogia con lo sviluppo di Taylor.
Sull’Uso del TLC. Fissata la legge del campione aleatorio, se E(|X i | 3 ) < +∞ allora per ogni ɛ > 0
esiste un N tale che, per ogni Y ∼ N(0, 1),
(
∣
¯Xn − µ )
sup ∣P
σ/ √ n ≤ y − P(Y ≤ y) ∣ ≤ ɛ ∀n ≥ N. (5.15)
y∈R
Infatti basta scegliere N = C 2 E(|X i | 3 ) 2 /σ 6 ɛ 2 e poi applicare la (5.14). Poiché E(|X i | 3 ) 2 e σ sono
determinati dalla legge del campione aleatorio, per ogni legge e per ogni tolleranza ɛ > 0, resta così
individuato un N che soddisfa la (5.15). Sottolineiamo che non è possibile indicare un N che valga
per ogni campione e per ogni ɛ > 0. 36
∗ Legge Geometrica ⇒ Legge Esponenziale. Dimostriamo questo teorema limite. Una variabile
aleatoria X a valori interi abbia distribuzione geometrica G(p) con 0 < p k) =
(1 − p) k per ogni k ∈ N. Fissiamo un intervallo temporale unitario 0 < δ