Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

(ii) La (5.5) può essere riscritta
√ n( ¯Xn − µ) ≃ σY ∼ N(0, σ 2 ),
oppure
¯X n ≃ µ + σ √ n
Y ∼ N(µ, σ 2 /n),
oppure
n∑
X i ≃ nµ + √ nσY ∼ N(nµ, nσ 2 ) per n → ∞.
i=1
Qui “≃” corrisponde all’approssimazione nel senso della convergenza in legge per n → ∞, mentre
“Z ∼ N(µ, σ 2 )” significa che la variabile aleatoria Z ha distribuzione normale di speranza µ e varianza
σ 2 . Quindi quanto più grande è n, tanto più la legge della variabile aleatoria ¯X n è vicina alla legge
normale di media µ e varianza σ 2 /n, e tanto più la varianza di quest’ultima legge è piccola. Questo è
coerente con due fondamentali proprietà:
(a) la speranza di una somma di variabili aleatorie è la somma delle speranze;
(b) la varianza di una somma di variabili aleatorie non correlate è la somma delle varianze; quindi,
essendo la varianza quadratica, la varianza della loro media è la media delle varianze divisa per il
numero delle variabili aleatorie.
(iii) La seconda formula della (5.6) può anche essere interpretata come segue: per n “abbastanza”
grande, la legge della variabile aleatoria ¯X n finisce con dipendere dalle variabili X i “essenzialmente”
solo attraverso la loro media µ e la loro varianza σ 2 /n. 34 Più precisamente, quanto più n è grande,
tanto più questo è vero.
(iv) Se ciascuna variabile aleatoria X i del campione aleatorio ha legge normale N(µ, σ 2 ), allora
si può dimostrare che la (5.6) è verificata esattamente (senza bisogno di approssimare), ovvero che
¯X n ∼ N(µ, σ 2 /n).
Relazione tra TLC e TGN. Il TLC spiega il ruolo fondamentale della distribuzione normale in
statistica.
(i) TLC ⇒ TGN. 35 Sia {X i } i∈N un campione aleatorio di variabili aleatorie con speranza µ e
varianza finita σ 2 > 0, e sia Y una variabile aleatoria normale standard. Fissiamo una qualsiasi
costante c > 0, ed osserviamo che, definendo Sn ∗ come in (5.5) e denotando con F S ∗ n
la sua funzione di
ripartizione,
P(| ¯X
( √ n c ) ( √ √ n c n c )
n − µ| ≤ c) = P |Sn| ∗ ≤ = P −
σ
σ
≤ S∗ n ≤
σ
( √ n c) ( √ (5.7)
n c )
= F S ∗ n
− F S ∗
σ
n
− .
σ
Per via della (5.5),
F S ∗ n
(t) → F Y (t) per n → ∞, ∀t ∈ R. (5.8)
√ √
Poiché n c
n c
σ
) → F Y (+∞). Analogamente
F S ∗ n
(−
Quindi
σ
→ +∞ per n → ∞, è allora facile rendersi conto che F S ∗ n
(
) → F Y (−∞). La (5.7) quindi implica
√ n c
σ
(5.6)
P(| ¯X n − µ| ≤ c) → F Y (+∞) − F Y (−∞) = 1. (5.9)
P(| ¯X n − µ| ≥ c) = 1 − P(| ¯X n − µ| ≤ c) → 0 ∀c > 0, per n → ∞, (5.10)
ovvero ¯X n → µ in probabilità, come affermato dal TGN, cf. (3.21).
(ii) Il TLC fornisce anche un’informazione più precisa del TGN circa la velocità con cui ¯Xn → µ.
Si consideri la definizione di S ∗ n (ovvero l’uguaglianza della (5.5)): per n → ∞, in base al TGN
34 Queste virgolette indicano delle espressioni che andrebbero precisate.
35 A prima vista questo può apparire un po’ sorprendente, poiché il TLC fornisce una convergenza in legge, il TGN
una convergenza in probabilità; e in (5.4) abbiamo visto che la convergenza in legge non implica quella in probabilità.
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