Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

(ii) Legge geometrica ⇒ legge esponenziale. Sia λ una costante > 0. Per n → ∞, la distribuzione
geometrica G(λ/n) converge alla distribuzione esponenziale Exp(λ), riscalando opportunamente il
tempo — si veda più avanti.
(iii) Teorema dei Grandi Numeri (o TGN). (Jakob Bernoulli, 1689) Se {X i } i∈N è un campione
aleatorio di variabili aleatorie con speranza µ e varianza finita, allora la media campionaria ¯X n converge
in probabilità a µ [B, p. 71]. Lo stesso risultato vale anche per le variabili aleatorie continue, con la
stessa dimostrazione. Come abbiamo visto, questo giustifica il punto di vista frequentista.
(iv) Teorema Limite Centrale (o TLC). (De Moivre, 1733; Lindeberg 1922) 32 Se {X i } i∈N è un
campione aleatorio di variabili aleatorie con speranza µ e varianza finita σ 2 > 0, 33 allora la distribuzione
della media campionaria standardizzata converge alla distribuzione normale standard [B, p. 124],
ovvero
Sn ∗ := ¯X n − µ
σ/ √ → Y in legge, con Y ∼ N(0, 1). (5.5)
n
Pertanto la distribuzione standardizzata di un campione aleatorio di sufficiente ampiezza può essere
approssimata in legge da una distribuzione gaussiana; e questo avviene indipendentemente dalla
distribuzione del campione aleatorio (!).
Tabella Riassuntiva. Lo schema di Bernoulli rappresenta un serie di accadimenti di due tipi (e.g.,
successi e insuccessi). Il numero di successi in n avvenimenti ha distribuzione binomiale. Il numero di
avvenimenti prima del primo successo ha distribuzione geometrica.
Lo schema di Poisson rappresenta un serie di accadimenti indipendenti che avvengono ad istanti
casuali. Il numero di accadimenti in un intervallo di tempo ha distribuzione di Poisson. Il tempo che
intercorre tra due accadimenti successivi ha distribuzione esponenziale.
La freccia rappresenta il passaggio al limite sopra illustrato.
Schema di Bernoulli
Schema di Poisson
legge binomiale → legge di Poisson
legge geometrica → legge esponenziale
Osservazioni sul TLC. (i) Per il principio di mutua compensazione, Var( ¯X n ) = Var(X i )/n per
ogni n ed ogni i. Quindi σ ¯Xn = σ/ √ n, ovvero il denominatore della Sn ∗ è la deviazione standard del
numeratore:
Sn ∗ = ¯X n − µ
.
σ ¯Xn
Questa è la variabile aleatoria standardizzata della media campionaria, ed è diversa dalla media
campionaria delle variabili aleatorie X i standardizzate:
standardizzata della media =
1 ∑ ni=1
n
X i − µ
σ/ √ ≠ 1 n n
n∑
i=1
X i − µ
σ
= media delle standardizzate.
32 De Moivre dimostrò questo risultato per variabili aleatorie binomiali X i ∼ B(1, p). Lindeberg lo estese poi alla forma
riportata da [B, p. 124]. (Pur se apparentemente più modesto, il passo più rilevante fu quello di De Moivre, già nel
1733!)
Perché il teorema si chiama così? Su questo non sono tutti d’accordo: i più lo intendono come teorema centrale
del limite, ed attribuiscono l’aggettivo centrale a teorema, per il suo ruolo centrale nel calcolo delle probabilità ed in
statistica. Per altri è il limite ad essere centrale, e parlano di teorema del limite centrale. Tra l’altro, la denominazione
inglese central limit theorem si presta ad entrambe le interpretazioni.
33 Se invece σ 2 = 0 allora ... ancora meglio: in tal caso X i = µ in tutto Ω, quindi ¯Xn = µ e per ogni n.
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