Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

Se X è discreta e p X è la sua densità, possiamo confrontare la (4.5) con la nota definizione
E(X) =
∑
x i ∈X(Ω)
x i p X (x i ),
se
∑
x i ∈X(Ω)
|x i |p X (x i ) < +∞. (4.6)
D’altra parte, denotando con F X la funzione di ripartizione di X e supponendo che questa sia continua
(e derivabile salvo al più in una successione di punti),
∫
∫
E(X) = x F X(x) ′ dx se |x| F X(x) ′ dx < +∞. (4.7)
R
Confrontando la (4.5) con la (4.7) ritroviamo i due diversi modi di sommare che abbiamo già incontrato
in statistica descrittiva e nell’integrazione delle variabili aleatorie discrete; si vedano gli sviluppi (3.1),
..., (3.6).
La definizione (4.7) è posta solo per variabili aleatorie continue; è noto che per variabili aleatorie
discrete la speranza va scritta diversamente, con una serie invece di un integrale. Per tali variabili
aleatorie la (4.7) è più generale della (4.5), che si applica solo se Ω ⊂ R N (qui abbiamo posto N = 2).
Supponiamo ora di avere due variabili aleatorie X, Y : Ω → R, ciascuna discreta o continua. La
loro covarianza vale
∫∫
Cov(X, Y ) = [X(ω) − E(X)] [Y (ω) − E(Y )] h(ω) dω 1 dω 2
Ω
∫∫
(4.8)
se E(|X|), E(|Y |), |[X(ω) − E(X)] [Y (ω) − E(Y )]| h(ω) dω 1 dω 2 < +∞.
Ω
Se X e Y sono variabili aleatorie discrete e p X,Y è la loro densità congiunta, allora
Cov(X, Y ) =
∑
∑
x i ∈X(Ω) y j ∈Y (Ω)
∑ ∑
se E(|X|), E(|Y |),
x i ∈X(Ω)
R
[x i − E(X)] [y j − E(Y )] p X,Y (x i , y j )
y j ∈Y (Ω)
|[x i − E(X)] [y j − E(Y )]| p X,Y (x i , y j ) < +∞.
Se X e Y sono indipendenti e le loro densità sono rispettivamente p X e p Y , allora p X,Y (x i , y j ) =
p X (x i )p Y (y j ), e ritroviamo la nota proprietà che Cov(X, Y ) = 0.
∗ Tiro al Bersaglio. Il bersaglio sia un tabellone circolare Ω di raggio R. Se si tira a casaccio, la
densità di probabilità h(ω) sarà uniforme:
h(ω) = ˜h(ρ) = (πR 2 ) −1 ∀ρ =
√
ω 2 1 + ω2 2 .
Se invece si mira al centro e si ha una buona mira, allora la densità di probabilità sarà una funzione
decrescente di ρ:
h(ω) = ˜h(ρ) con ˜h : [0, R] → R + decrescente,
e h dovrà soddisfare la condizione di normalizzazione 29
∫∫
Si noti che ˜h potrebbe divergere per ρ → 0.
Ω
h(ω) dω 1 dω 2 = 2π
∫ R
0
(4.9)
˜h(ρ)ρ dρ = 1. (4.10)
29 Per un bersaglio di raggio infinito (ovvero Ω = R 2 ), per ogni σ > 0 si può usare la densità di probabilità
1
˜h(ρ) =
πσ exp ( −ρ 2 )
2σ
∀ρ > 0,
che è parente stretta della nota densità gaussiana. Si verifichi che la condizione (4.10) è soddisfatta anche in questo caso.
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