Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

4 Variabili aleatorie continue
• Legge e Densità di Probabilità. Supponiamo che P sia una misura di probabilità su uno spazio
campionario Ω. Per ogni variabile aleatoria X : Ω → R definiamo la funzione di ripartizione 26
F X : R → [0, 1], F X (y) = P(X ≤ y) ∀y ∈ R. (4.1)
Si verifica facilmente che F X (−∞) = 0 e, essendo P una misura di probabilità, F X (+∞) = 1 e F è
non decrescente. Distinguiamo a seconda che sia X continua o discontinua.
(a) Se F X è continua, possiamo supporre che sia derivabile ovunque, a meno di un insieme H X
formato al più da una successione di punti. 27 In tal caso f X := F X ′ (detta densità di probabilità) è
definita solo in R \ H X ; ma questo non causa particolari difficoltà, e comunque non ci impedisce di
scrivere
∫ y
F X (y) = f X (s) ds ∀s ∈ R. (4.2)
Quindi, ad esempio,
da cui (un po’ disinvoltamente)
−∞
P(a < X ≤ b) = F X (b) − F X (a) =
∫ b
P(x < X ≤ x + dx) ≃ f X (x) dx ∀x ∈ R.
a
f X (s) ds ∀]a, b[ ⊂ R, (4.3)
Si noti che P(X = x) = 0 per ogni x ∈ R. Quindi f X (x) non è la probabilità dell’evento {X = x}, a
differenza di quanto visto per la funzione di densità di una variabile aleatoria discreta.
(b) Ben diversa è la situazione in cui F X sia discontinua, ovvero abbia dei salti. Il caso limite in
cui la F X cresce solo a salti corrisponde esattamente ad una variabile aleatoria X discreta, che è stato
già trattato. Il caso intermedio in cui F X cresca sia a salti che aldifuori dei salti non rientra nella
trattazione del [B], in quanto richiede degli strumenti analitici più raffinati.
Un’altra Rappresentazione della Speranza. La speranza di una variabile aleatoria X è definita
dal [B] in termini della legge della variabile aleatoria stessa. Se Ω ⊂ R N possiamo dare una definizione
equivalente che sfrutta la teoria dell’integrazione su R N . Per semplicità qui ci limitiamo a N = 2, ma
l’estensione ad un generico N non presenta difficoltà. In questo caso il generico ω ∈ Ω è della forma
ω = (ω 1 , ω 2 ), e possiamo usare l’integrale bidimensionale, che indichiamo con ∫∫ ...dω 1 dω 2 . Si assuma
che esista una funzione h : Ω → R tale che
∫∫
∫∫
h ≥ 0, h(ω) dω 1 dω 2 = 1, P(A) = h(ω) dω 1 dω 2 ∀A ⊂ Ω. (4.4)
Ω
Quindi h è la densità della misura di probabilità P su Ω.
28
Allora la speranza di una variabile
aleatoria (discreta o continua) X : Ω → R è
∫∫
∫∫
E(X) = X(ω)h(ω) dω 1 dω 2 , se |X(ω)|h(ω) dω 1 dω 2 < +∞. (4.5)
Ω
Questo rende conto del fatto che diverse proprietà della speranza riproducono quelle dell’integrale.
Ad esempio, sotto opportune restrizioni,
E(X 1 + X 2 ) = E(X 1 ) + E(X 2 ), E(cX) = cE(X) ∀c ∈ R.
26 La funzione S X : R → [0, 1] definita da S X(y) = P(X > y) = 1 − F X(y) per ogni y ∈ R è detta funzione di
sopravvivenza di X.
27 Questo non è del tutto vero: ci sono dei controesempi. Tuttavia possiamo ignorare questi casi, che sono estremamente
patologici. Il [B] invece si pone qualche scrupolo in più.
28 Occorre prestare attenzione a distinguere la densità della misura di probabilità su Ω, dalla densità della misura di
probabilità su R indotta da una variabile aleatoria X. Il termine è lo stesso, ma la prima è riferita alla probabilità P su
Ω; la seconda alla probabilità P X su R, ovvero alla legge di X.
Ω
A
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