Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

Bernoulli: per X i = 1 si va avanti, per X i = −1 si va indietro, ciascun esito con probabilità 1/2. I
lanci sono supposti indipendenti, cosicché le X i costituiscono un campione aleatorio.
Calcoliamo alcuni momenti della media campionaria ¯X n := 1 ∑ ni=1
n
X i a titolo di esercizio. Ovviamente
E( ¯X n ) = 1 ∑
E(X i ) = 0. (3.25)
n
i
Inoltre, essendo E(Xi 2 ) = E(1) = 1 per ogni i, e per via dell’indipendenza (qui basterebbe la non
correlazione)
E(X i · X j ) = E(X i ) · E(X j ) = 0 se i ≠ j,
abbiamo
E[( ¯X n ) 2 ] = 1 n 2 E( ∑ i X i · ∑
j X j) = 1 n 2 ∑i,j E(X i · X j )
= 1 n 2 ∑
i=j E(X i · X j ) + 1 n 2 ∑
i≠j E(X i · X j ) = n n 2 + 0 = 1 n . (3.26)
Si verifica facilmente che, per via dell’indipendenza (qui la non correlazione non basta), E(X i · X j ·
X k ) = 0 per ogni i, j, k. Pertanto
E[( ¯X n ) 3 ] = 1 n 3 E( ∑ i X i · ∑
j X j · ∑
k X k) = 1 n 3 ∑i,j,k E(X i · X j · X k ) = 0, (3.27)
e lo stesso vale per ogni momento dispari. Avendo ormai compreso quali termini sono nulli, poi
abbiamo
E[( ¯X n ) 4 ] = 1 E( ∑ n 4 i X i · ∑
j X j · ∑
k X k · ∑l X l)
(3.28)
= 1 ∑
n 4 i,j,k,l E(X i · X j · X k · X l ) = 3 ∑
n 4 i,k E(X2 i · X2 k ) = 3n2 = 3 .
n 4 n 2
Ci arrestiamo qui con il calcolo dei momenti si ¯Xn .
I più rilevanti risultati ottenuti riguardano la speranza e la varianza:
E( ¯X n ) (3.25)
= 0, Var( ¯X n ) (3.25)
= E[( ¯X n ) 2 ] (3.26)
= 1/n . (3.29)
Confrontando quest’ultima uguaglianza con la (3.18), vediamo che questa è una manifestazione del
principio di mutua compensazione — d’altra parte la (3.26) è stata dimostrata proprio riproducendo
la procedura usata per derivare quel principio.
∗ Moto Browniano. Il random walk è alla base di un importante modello fisico, noto come moto
Browniano, che rappresenta fenomeni di diffusione, ad esempio la dispersione di una sostanza in un
fluido, o la propagazione del calore. Se denotiamo con h la lunghezza di un passo e con τ l’unità
di tempo, allora h ∑ n
i=1 X i = nh ¯X n rappresenta l’ascissa raggiunta dopo l’n-esimo lancio, ovvero
all’istante t = nτ. Poniamo
δ(t) 2 = E[(h ∑ n
i=1 X i ) 2 ]: media del quadrato della distanza dall’origine all’istante t,
cosicché δ(t) 2 rappresenta la distanza quadratica media dall’origine all’istante t, ovvero la varianza
della distanza (che è una variabile aleatoria centrata). Abbiamo
δ(t) 2 = E[(nh ¯X n ) 2 ] (3.25)
= (nh) 2 Var( ¯X n ) (3.29)
= nh 2 = Dt (ponendo D := h 2 /τ); (3.30)
D è il coefficiente di diffusione. Nei fenomeni di diffusione quindi la distanza quadratica media è
proporzionale al tempo: δ(t) 2 = Dt; nei fenomeni di trasporto invece la distanza media è proporzionale
al tempo: δ(t) = Ct (per un C > 0). Questo avviene in virtù del principio di mutua compensazione,
come già osservato.
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