Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

Questo teorema permette di approssimare non solo la speranza delle funzioni del campione aleatorio
{X i }, ma anche la speranza di ogni funzione del campione aleatorio {X i }. Sia f : R → R una funzione
continua tale che Y i := f(X i ) ha speranza finita ˜µ (essendo il campione equidistribuito, questa speranza
non dipende da i) e varianza pure finita. Denotando con Ȳn la media campionaria delle Y i , allora la
(3.21) fornisce
P(|Ȳn − ˜µ| ≥ c) ≤ 1 (3.18)
Var(Ȳn) = 1
c2 nc 2 Var(Y 1) → 0 per n → ∞, ∀c > 0. (3.23)
In questo modo si possono approssimare ad esempio i momenti del campione aleatorio {X i }.
Bernoullizzazione. 24 Il teorema dei grandi numeri permette di approssimare non solo la speranza
di legge discreta, ma anche di simulare una qualsiasi legge discreta, nel senso che ora illustriamo; cf.
[B, p. 72]. Sia {Y i } i∈N un qualsiasi campione aleatorio avente quella legge, e si fissi un r ∈ Y 1 (Ω)
(questo insieme immagine è comune a tutte le Y i , che sono equidistribuite). Si ponga poi X i = 1 {Yi =r}
per ogni i ∈ N, 25 si noti che anche questo è un campione aleatorio (ovvero è costituito da variabili
aleatorie equidistribuite indipendenti). Pertanto
E(X i ) = E(1 {Yi =r}) = P({Y i = r}) = P({Y 1 = r}) =: q per ogni i.
Definiamo poi al solito la media campionaria ¯X n := 1 ∑
n i≤n X i per ogni n, e notiamo che E( ¯X n ) =
E(X 1 ) = q per ogni n. Allora il teorema dei grandi numeri fornisce
¯X n → q
(nel senso della convergenza in probabilità).
Applicando questo procedimento ad ogni r ∈ Y 1 (Ω), si può approssimare l’intera densità di
probabilità della legge discreta prefissata.
La variabile aleatoria ¯X n rappresenta la frequenza empirica dell’esito Y i = r:
¯X n (ω) = 1 n
∑
i≤n
1 {Yi =r}(ω) = #{i ≤ n : Y i(ω) = r}
n
per ω ∈ Ω. (3.24)
In questo modo si vede come il teorema dei grandi numeri giustifichi l’interpretazione frequentista del
calcolo delle probabilità.
Ad esempio la bernoullizzazione di un dado equilibrato consiste nel simulare la legge uniforme
sull’insieme {1, ..., 6} mediante la sequente legge di Bernoulli:
p(k) = 1/6 per k = 1 (ovvero testa), p(k) = 0 per k = 0 (ovvero croce).
In questo modo, per ogni r ∈ {1, ..., 6}, la probabilità che un lancio del dado dia esito r è pari alla
probabilità che un lancio della moneta dia esito testa.
Qui è bastata una sola legge di Bernoulli poiché le facce erano equiprobabili. Per un dado non
equilibrato occorrono sei leggi di Bernoulli: per ogni r ∈ {1, ..., 6}, indicato con q r la probabilità che
un lancio del dado dia esito r, in questo caso si pone
p r (k) = q r per k = 1 (ovvero testa), p r (k) = 0 per k = 0 (ovvero croce).
∗ Random Walk. Ovvero passeggiata aleatoria, chiamata anche passeggiata dell’ubriaco. Per semplicità,
supponiamo che il moto avvenga lungo una retta. Simuliamo questo comportamento mediante
il ripetuto lancio di una moneta equilibrata: un passo in avanti se viene testa, un passo indietro se
viene croce. Il lancio i-esimo può essere pertanto rappresentato con una variabile aleatoria X i di
24 Questo risponde alla domanda: come si può trasformare un dado in una moneta? (senza venderlo naturalmente...)
25 Questa è ovviamente una variabile aleatoria di Bernoulli, una bernoullizzata della X i (il termine non è standard!).
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