Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

• Estrazioni Con o Senza Reimmissione. Si effettuino successive estrazioni da un’urna contenente
N biglie di due diversi colori. Se le estrazioni sono con reimmissione (o “rimpiazzo”), allora esse sono
indipendenti, e ad ogni estrazione ciascuna biglia ha probabilità 1/N di essere estratta. In questo caso
il procedimento di estrazione è detto uno schema successo-insuccesso, ed il numero di successi (ovvero
di biglie di uno dei due colori) ha distribuzione binomiale.
Se invece le estrazioni sono senza reimmissione, allora esse sono dipendenti, ed il numero di biglie di
un colore estratte ha distribuzione ipergeometrica. Nondimeno, se si suppone di non sapere quali biglie
sono state estratte precedentemente, allora ad ogni estrazione ciascuna biglia ha ancora probabilità
1/N di essere estratta, cf. [B, p. 54].
Ad esempio, siano b biglie bianche e r biglie rosse (quindi N = b + r), e si effettuino n estrazioni.
Sia X il numero di biglie bianche estratte. Allora:
— nel caso con reimmissione, ad ogni estrazione la probabilità di estrarre una biglia bianca è
q = b/N, e quindi
( n
)
P(X = k) = q k (1 − q) n−k per k = 0, ..., n; (3.11)
k
— nel caso senza reimmissione, il rapporto “# casi favorevoli”/“# casi pssibili” fornisce
( b
P(X = k) =
k
)( r
n − k
)/( b + r
)
n
per k = 0, ..., n. (3.12)
La Matrice di Covarianza. Sia N un qualsiasi intero ≥ 1, e {X i } i=1,...,N una famiglia di variabili
aleatorie. Sottintendendo che le somme sono da 1 a N, ed osservando che Cov(X i , X j ) = Cov(X j , X i )
per ogni i, j, abbiamo
Var ( ∑ i X i) = Cov ( ∑ i X i, ∑ j X j) = ∑ ∑
i j Cov (X i, X j )
= ∑ i=j Cov (X i, X j ) + ∑ i≠j Cov (X i, X j ) = ∑ i Var (X i) + 2 ∑ i