Note del corso di Analisi II (parte di calcolo delle probabilita' e ...

Nondimeno certe sfumature lessicali riflettono i differenti punti di vista della statistica descrittiva
e del calcolo delle probabilità. Ad esempio, una volta che i dati sono acquisiti, non ha molto senso
usare i termini di speranza o valore atteso, ed è meglio parlare di media o di valor medio. (Simili
incongruenze terminologiche non si presentano per varianza e covarianza.)
Variabili Aleatorie e loro Leggi. Si consideri la definizione (3.8): la legge (o distribuzione di
probabilità) P X è definita in termini della probabilità P e della variabile aleatoria X, ma in generale
né P né X possono essere ricostruite a partire da P X . In altri termini, passando da una variabile
aleatoria alla sua legge ci può essere una perdita di informazione. 13
Riassumiamo alcuni punti che il Baldi espone più o meno esplicitamente.
Ogni variabile aleatoria determina la sua legge, ma non viceversa. Comunque ogni legge determina
ed è determinata dalla sua densità, o equivalentemente dalla sua funzione di ripartizione. Legge,
densità e funzione di ripartizione quindi contengono la stessa informazione. Questo vale sia per variabili
aleatorie reali (ovvero scalari) che per variabili aleatorie multidimensionali (ovvero vettoriali), e sia
per variabili aleatorie discrete che per variabili aleatorie continue.
La conoscenza della legge P X può surrogare quella della X stessa solo in alcuni casi; è cruciale
comprendere quando questo vale. Ad esempio:
(i) La media, la varianza e gli altri momenti dipendono solo dalla legge delle variabili aleatorie
interessate. Lo stesso vale per l’integrale di ogni funzione di una variabile aleatoria. La covarianza
dipende solo dalla legge congiunta delle variabili aleatorie interessate. La speranza di una funzione
di più variabili aleatorie è determinato dalla legge congiunta (ovvero, la legge della variabile aleatoria
congiunta); la conoscenza delle leggi marginali (ovvero, le leggi delle variabili aleatorie marginali)
non è invece sufficiente a determinarlo, a meno che le variabili aleatorie non siano (stocasticamente)
indipendenti. Si noti che non ha senso parlare di indipendenza di leggi.
(ii) Una N-pla {X 1 , .., X N } di variabili aleatorie determina la variabile aleatoria congiunta X =
(X 1 , .., X N ), in quanto conoscere le componenti di un vettore ovviamente equivale a conoscere il vettore
stesso. La legge congiunta P X determina le leggi marginali P X1 , ..., P XN . 14 Il viceversa in generale
non vale, a meno che la famiglia {X 1 , .., X N } non sia indipendente [B, p. 53].
(iii) L’indipendenza di una famiglia di variabili aleatorie è determinata dalla legge congiunta, ma
non dalle leggi delle variabili aleatorie della famiglia (ovvero dalle leggi marginali). Infatti per stabilire
l’eventuale indipendenza occorrono sia la legge congiunta che quelle marginali, e la legge congiunta
determina le leggi marginali ma non viceversa. 15
(iv) Sia f : R → R una funzione continua. La legge di Y = f(X) può essere espressa in termini
della legge P X di X (o equivalentemente della sua densità p X ):
P f(X) (A) =
∑
P X ({x}) =
∑
p X (x) ∀A ⊂ R. (3.9)
x∈f −1 (A)
x∈f −1 (A)
13 In effetti una stessa legge si può incarnare (termine non tecnico!) in diverse variabili aleatorie, che possono essere
considerate come diverse realizzazioni (termine tecnico questo!) della stessa legge.
In diversi casi è più naturale pensare alla legge piuttosto che ad una variabile aleatoria ad essa associata. Ad esempio
se gioco a testa o croce con una certa posta in gioco ad ogni lancio, mi interesserà sapere quante volte ho vinto, piuttosto
che avere il dettaglio dell’esito dei singoli lanci. L’esito dettagliato dei lanci è una variabile aleatoria, il numero di vittorie
e la sua legge.
14 Le variabili aleatorie X i sono dette marginali della X = (X 1, .., X N ) perchè, per N = 2, tipicamente sono rappresentate
ai margini della tabella matriciale che rappresenta la variabili aleatoria congiunta (X 1, X 2). Questa terminologia
è usata anche per N > 2.
15 A proposito di indipendenza, il [B] manca di sottolineare quanto segue. Sia {X 1, .., X N } una famiglia di variabili
aleatorie reali (discrete o continue), sia X la variabile aleatoria congiunta, e si definisca la funzione di ripartizione
multivariata F X:
F X(x 1, ..., x N ) := P(X 1 ≤ x 1, ..., X N ≤ x N ) ∀(x 1, ..., x N ) ∈ R N .
La famiglia di variabili aleatorie {X 1, .., X N } è indipendente se e solo se, denotando con F Xi le rispettive funzioni di
ripartizione,
F X(x 1, ..., x N ) = F X1 (x 1) · · · F XN (x N ) ∀(x 1, ..., x N ) ∈ R N .
Inoltre questo vale se e solo se, denotando con p X e p Xi le rispettive densità, p X = p X1 · · · p XN .
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